Para profundizar sobre algunos de los puntos anteriores, considere la posibilidad de la diferenciación de un proceso después de una tendencia determinista $y_t=a+bt+\epsilon_t$.
$\Delta y_t$ a no es invertible, como $\Delta y_t=bt-b(t-1)+\Delta\epsilon_t=b+\Delta\epsilon_t$. Esta es una $MA(1)$ con una unidad de raíz, y por lo tanto no es invertible. Esto es debido a que la primera diferencia es que el "mal" detrending esquema de una tendencia proceso estacionario.
También, tenemos que el largo plazo de la varianza de una $MA(1)$ proceso puede ser escrito como
$$
J=\sigma^2(1+\theta)^2,
$$
como
\begin{eqnarray*}
J &=& \sum_{j=-\infty}^{\infty}\gamma_j \\
&=& \gamma_0 + 2 \sum_{j=1}^{\infty}\gamma_j \\
&=& \gamma_0 + 2 \gamma_1 + 0\\
&=& \sigma^2(1 + \theta^2) + 2 \theta \sigma^2\\
&=& \sigma^2(1 + \theta^2 + 2\theta)\\
&=& \sigma^2(1 + \theta)^2
\end{eqnarray*}
Tenemos $J=0$$\theta=-1$, por lo que un $MA(1)$ con una unidad de la raíz. Este es un problema porque por ejemplo el largo plazo de la varianza asintótica de la varianza de la media muestral,
$$
\sqrt{T}(\bar{Y}_T-\mu)\to_d N\Biggl(0,\sum_{j=-\infty}^{\infty}\gamma_j\Biggr),
$$
que se usa, por ejemplo para los errores estándar - que no debe ser cero.
