Orígenes de la moderna definición de topología

Question

La moderna definición de la topología de 'una familia de subconjuntos de un conjunto $X$ que contiene el conjunto vacío y $X$, cerrada bajo uniones e intersecciones finitas'.

En Grundzüge der Mengenlehre (1914) Hausdorff presentó su conjunto de cuatro axiomas de espacio topológico que sin duda ha influido en la moderna definición, ya que ponen de relieve la noción de conjunto abierto. Pero quien introdujo la moderna definición por primera vez?

Hausdorff del axiomas o Umgebungsaxiome (página 213 en Grundzüge der Mengenlehre):

(A) Jedem Punkt $x$ entspricht mindestens eine Umgebung $U_x$; jede Umgebung $U_x$ enthält den Punkt $x$.

(B) Sind $U_x$, $V_x$ zwei Umgebungen desselben Punktes $x$, por lo que gibt es eine Umgebung $W_x$, morir Teilmenge von beiden ist.

(C) Liegt der Punkt $y$$U_x$, por lo que gibt es eine Umgebung $U_y$, morir Teilmenge von $U_x$ ist.

(D) Für zwei diversas Punkte $x$, $y$ gibt es zwei Umgebungen $U_x$, $U_y$ ohne gemeinsame Punkt.

Answer 1

Una vez detallada e interesante discusión de la extremadamente intrincada historia se puede encontrar en el papel de Gregory H. Moore, El surgimiento de bloques abiertos, conjuntos cerrados, y el límite de puntos en el análisis y topología, Historia Mathematica 35 (2008) 220-241.

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Parece justo, si simplista, para decir que después de Hausdorff, las siguientes obras fueron las principales contribuciones a la moderna axiomatisation de topología:

• C. Kuratowski, Sur l'opération $\overline{A}$ de l ' Análisis Situs, Fondo. De matemáticas. 3 (1922), 182-199 contiene la formulación del cierre de los axiomas — y el famoso cierre de complementar teorema muestra que los axiomas son independientes el uno del otro.
• H. Tietze, Beiträge zur allgemeinen Topologie. Yo Axiome für diversas Fassungen des Umgebungsbegriffs, Matemáticas. Ann. 88 (1923), 3-4, 290-312 contiene una definición en términos de abrir conjuntos y barrios, pero es algo más complicado.
• P. Alexandroff, Zur Begründung der $n$-dimensionalen mengentheoretischen Topologie, Matemáticas. Ann. 94 (1926), Número 1, 296 a 308 (abierto conjuntos)
  Los axiomas son simplemente 1. que la intersección de dos conjuntos "Gebiete" y arbitraria de los sindicatos de abrir los conjuntos son abiertos. 2. Hausdorff de la separación de la condición.

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Añadido: Bourbaki (¿quién más?) la empujó hacia la moderna versión aceptada y crédito deberá ser dado a Kelley clásico de la topología libro de topología General. Véase Moore documento mencionado al principio para obtener más detalles sobre esto, especialmente la sección 14.

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Añadido posterior: Para aquellos interesados en la excavación a través de los archivos y obtener una experiencia de primera mano de Bourbaki la lucha con la búsqueda de la "correcta" axiomas (como se describe en la sección 14. de Moore en el papel), recomiendo los Archives de l'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki. Para un ejemplo, véase, por ejemplo, la Projet Cartan pour le début de la topologie donde la equivalencia de las diversas axiomatisations se desarrolla.

Answer 2

Frechet se acredita con la definición de una métrica del espacio en su 1906 papel y Hausdorff se acercó con el prototipo de la norma axiomas en su 1914 tratado sobre la teoría de conjuntos.Fue creado como una forma directa de abstracción del concepto de espacio métrico y no es bastante el moderno definición. Por ejemplo, el Hausdorff de separación definición fue uno de los 4 axiomas.

Se convierte en turbias y a partir de ese punto que debe ser acreditado con la moderna definición de un espacio topológico.Los conceptos básicos de tanto ingenua de la teoría de conjuntos y de topología general parecen haber comenzado a trabajar su camino en el discurso matemático durante la segunda década del siglo 20 en Europa, en gran parte debido a la oral conferencias de Kuratowski y Alexandroff.

La moderna definición de una función como un conjunto de pares ordenados parece que ha sido popularizada en el mismo tiempo, en este contexto (de Acuerdo a mi investigación extensa sobre la historia del concepto de función,apareció por primera vez en la impresión en un poco conocido de 1911 papel por Giuseppe Peano y fue popularizado por Kuratowski citados conferencias.) La definición aparece por primera vez en la monografía y libros de texto de literatura en los textos clásicos por estos autores en 1920 y 1933 (?),respectivamente-por lo que yo sé.