Leí de un libro sin prueba el teorema siguiente: Let $f(x)$ ser una función diferenciable, entonces $f(x)$ es estrictamente creciente si y sólo si $f'(x) \geq 0$ y $f'(x) \gt 0$ casi en todas partes. ¿Es correcto? Lo dudo, pero yo pude probarlo ni dar un ejemplo contrario.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Una condición necesaria y suficiente es que $f^\prime\ge0$ en todas partes y $f^\prime > 0$ en una densa subconjunto de $\mathbb{R}$. La condición indicada en la pregunta es suficiente, pero no necesaria. Considere el siguiente derivable y estrictamente creciente en función de cual $f^\prime > 0$ no se mantienen en casi todas partes. Deje $C$ ser la grasa conjunto de Cantor (que está cerrada con medida positiva, pero no contiene ninguna trivial abrir intervalos). Deje $g(x)$ ser la distancia desde cualquier punto de $x$$C$. A continuación, $g$ es continua y se desvanece precisamente en $C$. La integral $$ f(x)=\int_0^xg(y)\,dy $$ es estrictamente creciente y continuamente diferenciable, sino $f^\prime=0$$C$.
Podemos mostrar que $f^\prime\ge0$ en todas partes y $f^\prime > 0$ en un denso conjunto es de hecho necesaria y suficiente para $f$ a ser estrictamente creciente (ver también Olivier Bégassat los comentarios de la pregunta).
Suficiencia: Si $f^\prime\ge0$, entonces el valor medio teorema implica que $f$ es cada vez mayor. Si no era estrictamente creciente, entonces tendríamos $f(a)=f(b)$ algunos $a < b$ lo que implica que $f^\prime=0$$[a,b]$, contradiciendo la condición de que $f^\prime > 0$ en un denso conjunto. Esto demuestra la suficiencia de las condiciones.
Necesidad: En la otra dirección, supongamos que $f$ es estrictamente creciente. A continuación, $f^\prime\ge0$ sigue directamente de la definición de la derivada. También, $f(a) < f(b)$ cualquier $a < b$. El valor medio teorema implica que $f^\prime(x) > 0$ algunos $x\in[a,b]$. Por eso, $f^\prime > 0$ en un denso conjunto.
Bryan Roth
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Como otros han dicho, la propuesta de "casi en todas partes" criterio no es correcto: es suficiente, pero no necesaria, para $f$ a ser estrictamente creciente.
En su muy bonita respuesta, George Lowther ha dado una correcta condición necesaria y suficiente para: a saber, que $f'(x) > 0$ sobre una densa subconjunto del dominio. Como sucede, recientemente he visto este tema en mi "Spivak clase de cálculo" y encontró que incluso Spivak del texto no dar bastante el tratamiento de este punto en el que yo quería. Así que escribí algo a mí mismo. Aquí está la declaración:
[Advertencia: donde otros aquí dicen "estrictamente creciente", yo digo "creciente"; donde otros dicen "creciente", yo digo "débilmente creciente", y lo mismo para "monótono" y "débilmente monótona".]
Segundo Monotono Teorema De La Función:
Deje $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ ser una función que es continua en a $I$ y derivable en el interior de la $I^{\circ}$$I$.
a) Los siguientes son equivalentes:
(i) $f$ está poco monótono.
(ii) tenemos $f'(x) \geq 0$ todos los $x \in I^{\circ}$ o $f'(x) \leq 0$
para todos los $x \in I^{\circ}$.
b) Supongamos $f$ está poco monótono. Los siguientes son equivalentes:
(i) $f$ es no monótono.
(ii) No existe $a,b \in I^{\circ}$ $a < b$ de manera tal que la restricción de $f$ $[a,b]$es constante.
(iii) No existe $a,b \in I^{\circ}$ $a < b$ tal que $f'(x) = 0$ para todos los
$x \in [a,b]$.
Tenga en cuenta que mi declaración de la equivalencia es ligeramente diferente (y, tal vez, un poco más simple?) de George. Para la prueba, por favor consulte la $\S 5.1$ de estas notas. Por último, tenga en cuenta que cuando George apelaciones para el Teorema del Valor Intermedio creo que realmente significa apelación (como yo) a la Media del Teorema del Valor, aunque (confusamente, para los estudiantes), estos nombres no son completamente estandarizadas incluso entre los matemáticos.
