Cohomología de Rham del plano con los agujeros de $m$

Question

Estoy tratando de calcular el De Rham cohomology de los múltiples $$M_d=\mathbb{R}^2\setminus\{ p_1\ldots p_d\},$$ donde los puntos de $p_1\ldots p_d$ son distinguidos.

Este debe ser un ejercicio estándar en el uso de Mayer-Vietoris secuencia, pero se me presenta una dificultad. Es decir, teniendo un adecuado abrir la cubierta, tales como $$M_d=U\cup V,$$ donde (hasta homeomorphism) $U=M_{d-1}$$V=M_1$, y luego de observar que los $M_1$ es homotopically equivalente a la $1$-colector $\mathbb{S}^1$, me pueden obtener a partir de Mayer-Vietoris secuencia de la siguiente pieza de información: $$h^1(M_d)-h^2(M_d)=h^1(M_{d-1})-h^2(M_{d-1})+1,$$ (donde $h^i(\ldots)=\dim H^i(\ldots)$).

¿Cuál es el causante del problema es la presencia de los $h^2$-términos. Supongo que deben desaparecer, ya que $h^2(M_1)$ lo hace porque de dicho homotopical equivalencia con $\mathbb{S}^1$. Pero,

es cierto que el avión con $m$ agujeros es homotopically equivalente a un colector de dimensión $1$?

Intuitivamente diría que esto es cierto: $M_2$ es homotopically equivalente a un $8$, $M_3$ para una curva que hace tres bucles y así sucesivamente. El problema es que los que no son colectores: en la figura se $8$, por ejemplo, tiene una singularidad en su centro. Esto me deja perplejo.

Gracias por la lectura.

Answer 1

Permite realizar esta inducción: suponer que en lo que sigue, en cada paso, $M_{d-1}\cap M_1$ $\mathbb{R}^2$ $d$ distintos puntos. Tiene una secuencia exacta corta:

$$ 0 \rightarrow \Omega^*(M_1\cup M_{d-1}) \rightarrow \Omega^*(M_1)\oplus\Omega^*(M_{d-1}) \rightarrow \Omega^*(M_d) \rightarrow 0$$

Cuando $d = 2$, tenemos la secuencia de tiempo exacta inducida

$$ 0 \rightarrow H^0(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R} \rightarrow H^0(M_1)\oplus H^0(M_1) = \mathbb{R}^2 \rightarrow H^0(M_2) $$

$$ \rightarrow H^1(\mathbb{R}^2)=0 \rightarrow H^1(M_1)\oplus H^1(M_1) = \mathbb{R}^2 \rightarrow H^1(M_2) $$

$$ \rightarrow H^2(\mathbb{R}^2)=0\rightarrow H^2(M_1)\oplus H^2(M_1) = 0 \rightarrow H^2(M_2) $$

$$ \rightarrow 0 \cdots $$

Donde he utilizado el lema de Poincaré en la columna de la izquierda y que $S^1\sim M_1$ en la columna media. Esto mostrará que $h^2(M_d) = 0$ por inducción.

Answer 2

Para responder a tu pregunta: A no. 1-colector es un segmento de línea (abierta o cerrada) o un círculo o una Unión separada de los mismos. Pero se puede engordar la figura-$8$ (por ejemplo) hacia fuera para llegar a un colector honesto homotopía-equivalente a lo que quieres (plano menos dos puntos).