Sistema iterativo cuadrático

Question

Un sistema lineal iterativo general puede representarse como una matriz:

$$(x,y)\mapsto(ax+by,cx+dy)$$

es esencialmente lo mismo que

$$\left[\begin{array}{cc} a&b\\ c&d\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right]$$

que es útil porque se puede iterar rápidamente (exponenciación matricial) y permite diversas técnicas matriciales para determinar el comportamiento asintótico y similares. (Por supuesto, el número de variables puede aumentarse según sea necesario).

¿Existe una herramienta similar para los sistemas iterativos cuadráticos como

$$(x,y)\mapsto(ax^2+bxy+cy^2,dx^2+exy+fy^2)$$ ? Estoy interesado en calcular el $n$ Esta iteración ( $n$ no demasiado pequeño), encontrar el comportamiento asintótico, y cualquier otra cosa interesante que se pueda determinar para una colección dada de constantes $a,b,\ldots$ .

Mi interés inmediato (la genética, curiosamente) no utiliza ninguno de los términos diagonales $x^2,y^2$ por lo que un tratamiento que los ignore estaría bien (aunque sospecho que incluirlos es más natural).

Answer 1

La respuesta corta es no. La dinámica de los mapas lineales es muy fácil de entender, como mencionas, pero la dinámica de los mapas no lineales suele ser muy complicada, y no hay una forma fácil de describir la iteración o la "asintótica".

Recordemos que la dinámica del mapa logístico $$ \lambda\mapsto \lambda x(1-x)$$ puede ser muy complicado ("caótico"), y puede depender sensiblemente tanto del valor inicial como del parámetro $\lambda$ .

En su entorno, podemos simular este mapa estudiando $$(x,y)\mapsto (-\lambda x^2 + \lambda xy , y^2),$$ y utilizando un valor inicial con $y=1$ .

Sin embargo, en el caso de dos variables, puede ser interesante observar que podemos proyectar $\mathbb{R}^2$ al espacio proyectivo (ya que su polinomio es homogéneo), y la iteración es semiconjugada a un mapa unidimensional. Más concretamente, si establecemos $p := x/y$ , entonces su mapa es semiconjugado al mapa racional cuadrático $$ R(p) = \frac{ap^2+bp+c}{dp^2+ep+f}.$$

Menciono esto porque la dinámica en una variable se entiende mucho, mucho mejor que la dinámica en varias variables. Por ejemplo, la familia de Hénon, en dos variables, sigue planteando muchos misterios, mientras que la familia cuadrática real (en una variable) ya se entiende bastante bien. (¡Aunque hace falta mucha matemática profunda!)