Álgebra de operadores diferenciales

Question

Dejemos que $A$ sea un conmutativo finitamente generado $k$ -álgebra, donde $k$ es un campo. He visto dos definiciones del álgebra de operadores diferenciales sobre $A$ que escribiré como $D(A)$ Y mi pregunta es: ¿cuándo son equivalentes y por qué? Aunque sólo sea proporcionando una referencia sería genial.

Una definición que he visto es:

Dejemos que $\mathrm{Der}(A)$ sea el $k$ -derivaciones lineales en $A$ y que $A$ actúan sobre sí mismos mediante la multiplicación por la izquierda. Entonces $D(A)$ es la subálgebra de $\mathrm{End}_k(A)$ generado por $A$ y $\mathrm{Der}(A)$ .

La otra definición que he visto dice:

Un elemento $T\in\mathrm{End}_k(A)$ es un operador diferencial de orden $\leq n$ en $A$ si $[\cdots[[T,a_0],a_1]\cdots,a_n]=0$ para todos $a_0,\dots,a_n\in A$ donde el paréntesis se calcula en $\mathrm{End}_k(A)$ . Entonces definimos $D(A)$ como el conjunto de operadores diferenciales de algún orden finito sobre $A$ .

Creo que la primera definición, que llamaré $D'(A)$ está contenida en la segunda definición, que llamaré $D(A)$ . Pero no me queda claro cuando se da la inclusión contraria.

Mi segunda gran pregunta, que puedes ignorar si sabes la respuesta a la primera, es: ¿cuál es la definición "correcta" de $D(A)$ cuando $A$ es un álgebra no conmutativa sobre $k$ ? ¿En qué coinciden las dos definiciones anteriores en esta situación?

Answer 1

Las dos nociones son equivalentes en el caso de la característica cero (¡suave! como señala Mariano en los comentarios). La razón por la que son equivalentes se reduce básicamente a la regla de Leibniz: $x\partial_x-\partial_xx=1$ en el anillo de operadores diferenciales. He aquí un esbozo de la prueba para el caso de la $n$ -de Weyl, definida por $$W_2=k\langle x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n\rangle/([x_i,y_i]-1,[x_i,x_j],[y_i,y_j]),$$ que es el anillo de operadores diferenciales sobre $A=k[x_1,\dots,x_n]$ :

Dejemos que $T\in \mathrm{End}_k(A)$ de manera que el $m+1$ -conmutador doble con cualquier $m+1$ elementos de $A$ es cero, pero el $m$ -el conmutador doble no lo es. Elige la siguiente base de $W$ como una izquierda $A$ -Álgebra: $y_1^{i_1}y_2^{i_2}\cdots y_n^{i_n}$ . Utiliza la lista de vectores base tal que $\sum i_j=n$ para determinar el $A$ -coeficientes de cada uno de estos términos en $T$ estableciendo el primer $i_1$ de $a_j$ para ser $x_1$ y así sucesivamente. Resta la combinación lineal de operadores diferenciales resultante de $T$ para obtener un operador diferencial de orden $\leq n-1$ y repetir. Al final tendrás $T$ escrito como un elemento del subálgebra de $\mathrm{End}_k(A)$ generado por $A$ y $\mathrm{Der}(A)$ .

La respuesta correcta, hasta donde yo sé, a su segunda pregunta proviene principalmente de los grupos cuánticos. Llama a un $R-R$ bimódulo $M$ diferencial si tiene una filtración por submódulos tal que cada subcociente es un cociente de una suma directa del $R-R$ bimódulo $R$ . Definir el submódulo diferencial máximo de $\operatorname{Hom}_k(L,N)$ como el $k$ -operadores diferenciales lineales de $L$ a $N$ para $L,N$ ambos $R-R$ bimódulos. Véase V. A. Lunts, A. L. Rosenberg, Differential operators on noncommutative rings, Selecta Math. (N.S.) 3 (1997), no. 3, 335-359. No obstante, agradeceré cualquier comentario de los lectores que sepan más sobre este ángulo.

En el caso de la característica positiva, hubo varios intentos de definir el tipo correcto de operadores diferenciales. Los operadores diferenciales de Grothendieck son los correspondientes a la segunda definición que enumeras. Los operadores diferenciales cristalinos son los que corresponden al primer caso que enumeras, aunque generalmente uno los construye primero como una gavilla. También hay operadores diferenciales de potencia dividida: elegir la versión "correcta" puede ser una parte interesante de la configuración de los problemas que se quieren atacar. Hay una buena discusión de la teoría para el caso de los enteros en https://mathoverflow.net/questions/56860/explicit-ring-of-differential-operators-for-polynomial-algebras-over-the-integers .