Convergencia débil en $L^p$

Question

Supongamos que $p\geq 2$ y $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ es un dominio acotado. Supongamos que $u_n\in L^p (\Omega)$ y $u_n\rightharpoonup u$. ¿es cierto que $u_n^2\rightharpoonup u^2$ $L^\frac{p}{2}(\Omega)$?

Gracias

Answer 1

No. Que $\Omega=[0,2\pi]$ y $f_n(x)=\sin(n\pi x)$, $n\ge1$. Entonces $f_n$ converge débil a $0$ $L^2$ y $f_n^2$ no converge débil en $L^1$ $0$, desde if $\phi(x)=1$ y $\phi\in L^\infty$ y $\int_0^{2\pi}f_n(x)^2\phi(x)dx=\pi\ne0$.