Convergencia uniforme de $f^2_n$ cuando $f_n$ converge uniformemente

Question

Deje $(f_n)$ ser una secuencia de funciones que converge uniformemente a $f$ en el intervalo de $I$.

Demostrar o refutar: $f^2_n \to f^2$ uniformemente en I.

Yo estaba casi seguro que esta afirmación es falsa, pero fue incapaz de construir cualquier ejemplo. Después de varias horas que empecé a probar y probar.

Lo que tengo hasta ahora es que, si podemos demostrar que $\sup_{x \in I}|f_n(f_n-f)| \ \to 0$ estamos hecho. Pero después de jugar durante un par de horas con diferentes funciones, estoy empezando a creer que puede estar mal.

Estoy realmente en una pérdida de aquí y de cualquier intuición que tuve acerca de las secuencias parece haberse perdido con este problema.

Answer 1

Let $f_n(x) = x+{1 \over n} $, $f(x) = x$. Entonces $f_n \to f$ uniformemente, pero $f_n(n)^2-f(n)^2 = { 2 n^2 +1 \over n^2}$, por lo tanto, la Plaza no converge uniformemente.

Considerando $f_n \circ \tan$ $f \circ \tan$ (y ajustes adecuados para la discusión anterior), podemos aplicar consideraciones similares al intervalo abierto $(0,{\pi \over 2})$.

Answer 2

Si $f_n+f $ es limitado, entonces el $f_n^2-f^2=(f_n-f)(f_n+f) \rightarrow 0$.