Binomio suma da $4^n$

Question

Estaba mirando este tema:intercambio de la $i$ th mayor Tarjeta entre $2$ manos de cartas y WolframAlpha me dieron este resultado.

¿Por qué es así? $$\sum_{k=0}^n{2k\choose k}{2n-2k\choose n-k}=4^n?$$

Answer 1

Da de circunvolución de la serie $$ \frac1{\sqrt{1-4x}}=\sum_{n=0}^\infty\binom{2n}{n}x^n $$ $$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k}x^n &=\frac1{\sqrt{1-4x}}\frac1{\sqrt{1-4x}}\\ &=\frac1{1-4x}\\ &=\sum_{n=0}^\infty4^nx^n \end {Alinee el} coeficientes de comparación $$ $x^n$ da \sum_{k=0}^n\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k}=4^n $$ $$