¿$\sum_{n=1}^{{\infty}}\frac{1}{P_{3n}}$ Es convergente?

Question

¿Es esta suma inferior a convergente? ($P_{n}$ es el primer n-ésima).

$$\sum_{n=1}^{{\infty}}\frac{1}{P_{3n}}$$

Answer 1

Diverge la serie $$\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}+\frac{1}{p_4}+\frac{1}{p_5}+\cdots$ $, por un resultado de Euler. Si su serie convergente, entonces en comparación sería así $\sum \frac{1}{p_{3n+1}}$ y $\sum \frac{1}{p_{3n+2}}$, y por lo tanto así que la serie de Euler.

Answer 2

Otra forma es usar el teorema del número primo, que nos dice $$p_{n}\sim n\log\left(n\right)$$ and so $% $ $\sum_{n\geq1}\frac{1}{p_{3n}}\sim\frac{1}{3}\sum_{n\geq2}\frac{1}{n\left(\log\left(n\right)+\log\left(3\right)\right)}\sim\frac{1}{3}\sum_{n\geq2}\frac{1}{n\log\left(n\right)}$y el RHS diverge.