¿Por qué cada "fibonacci como" la serie converge a $\phi$?

Question

Es bien sabido que la proporción de lado-por-lado de los números de fibonacci convergen a $\phi$. Pero parece que por mis cálculos, que si uno empieza con cualquier par de números uno también tendrá una relación que converge a $\phi$. Digamos, por ejemplo, si uno empieza con $3$ $4$ obtenemos:

4   1,333333333
7   1,75
11  1,571428571
18  1,636363636
29  1,611111111
47  1,620689655
76  1,617021277
123 1,618421053
199 1,617886179
322 1,618090452
521 1,618012422
843 1,618042226

donde la serie es en la izquierda y la relación es de lado de los números que están a la derecha.

Estoy bastante curiosidad por saber por qué sucede esto. Nadie?

Answer 1

Vamos a definir una Fibonacci-como la secuencia de una secuencia de satisfacciones: $$s_n=s_{n-1}+s_{n-2}.$$ Observe que si tomamos dos de Fibonacci-secuencias y añadirlos juntos, tenemos otro de Fibonacci como la secuencia, es decir, si $a_n$ $b_n$ son de Fibonacci como lo es $a_n+b_n$ - puede comprobar la recurrencia del mismo. Del mismo modo, si tenemos la escala de cada término de una de Fibonacci como la secuencia por una constante, es todavía de Fibonacci-como - es decir, si $a_n$ es de Fibonacci-como, por lo que es $c\cdot a_n$.

Esto significa que tales secuencias de formar una estructura llamada espacio vectorial , es decir, si establecemos una combinación lineal de Fibonacci-secuencias (por ejemplo,$\alpha\cdot a_n + \beta \cdot b_n$), el resultado es todavía de Fibonacci. Sin embargo, lo crucial acerca de esta idea es que, ya que se puede demostrar fácilmente que cualquier Fibonacci como la secuencia está determinada por sus dos primeros términos, entonces si tomamos dos secuencias de $F_n$, que es la secuencia de Fibonacci, comenzando con $F_0=0$ $F_1=1$ y una secuencia similar a $F'_n=F_{n-1}$, que comienza $F'_0=1$ $F'_1=0$ podemos demostrar que si, por una de Fibonacci como la secuencia $s$ tenemos $$s_0=s_0\cdot F'_0+s_1\cdot F_0$$ $$s_1=s_0\cdot F'_1+s_1\cdot F_1$$ entonces, desde el lado derecho es de Fibonacci, siendo una combinación lineal de Fibonacci-secuencias, y desde la mano derecha de la secuencia está de acuerdo por los dos primeros términos, que determinan la secuencia, podemos de inmediato salto a la $$s_n=s_0\cdot F'_n+s_1\cdot F_n$$ o, en sustitución de $F'$ por su definición $$s_n=s_0\cdot F_{n-1}+s_1\cdot{F_n}$$ es decir, que $s_n$ se puede escribir como una combinación lineal de la secuencia de Fibonacci y un cambio de la misma. A continuación, la relación de los términos sucesivos es $$\frac{s_0\cdot F_{n}+s_1\cdot F_{n+1}}{s_0\cdot F_{n-1}+s_1\cdot F_n}$$ que, si se divide el numerador y el denominador por $F_n$ da $$\frac{s_0+s_1\cdot \frac{F_{n+1}}{F_n}}{s_0\cdot \frac{F_{n-1}}{F_n}+s_1}$$ but since $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ tends to $\varphi$ for large $n$ and $\frac{F_{n-1}}{F_n}$ tends to $\varphi^{-1}$, podemos ver que el anterior tenderá hacia $$\frac{s_0+\varphi s_1}{\varphi^{-1} s_0 + s_1}$$ lo que equivale a $\varphi$, dado que el denominador multiplicado por $\varphi$ es el numerador. Así que, con esto se establece que cualquier Fibonacci como la secuencia debe tener la misma limitación de la relación de la secuencia de Fibonacci, que es $\varphi$. Una nota de precaución es que si el denominador, $\varphi^{-1} s_0 + s_1$ es cero (es decir, si $s_1=\frac{-s_0}{\varphi}$), a continuación, esto no funciona - de hecho, en este caso, debe ser que $s_n=s_0\cdot (-\varphi)^{-n}$ y la limitación de la relación de es $\frac{1}{\varphi}$.

Un profundo resultado es un aviso de que $s_n=\varphi^n$ $s'_n=(-\varphi)^{-n}$ son ambas secuencias de Fibonacci así, que conducen a la fórmula de Binet cuando encuentre una combinación lineal de los dos igualando la secuencia de Fibonacci. Claramente, el aumento exponencial de la $s_n$ plazo dominadores de la descomposición de $s'_n$ plazo, que es la razón por la $\phi$ es el límite de la relación de los sucesivos números de Fibonacci; si desea derivar de esto, aviso que $\varphi$ es la solución a $$s_n=s_{n-1}+s_{n-2}$$ $$\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}$$ O, dividiendo por $\varphi^{n-2}$ da $$\varphi^2=\varphi+1$$ lo cual es una propiedad de la proporción áurea, y exactamente la ecuación viene.

Answer 2

Las secuencias que satisface la recurrencia lineal

$$G_{n+2} = G_{n+1} + G_n$$

tomar la forma general

$$ A \alpha^n + B \beta^n$$

donde $\alpha, \beta$ son raíces de

$$x^2 = x + 1 $$

Si $A \ne 0$ (e $\alpha$ es el más grande de la raíz), la relación de los dos consecutivos tales términos $G_{n+1}/G_n$, converge a la más grande de la raíz, que en este caso es el golden ratio: $\varphi$.

$$ G_{n+1}/G_n = \frac{A \alpha^{n+1} + B \beta^{n+1}}{A \alpha^n + B \beta^n}$$

Tomar el más grande de la raíz ($\alpha$)

$$ = \alpha\left(\frac{A + B (\beta/\alpha)^{n+1}}{A + B (\beta/\alpha)^n}\right) \to \alpha$$

Si $A = 0$$B \ne 0$, entonces converge a $\beta$.

Answer 3

En caso de interés, este fenómeno no se limita a Fibonacci y los números de Lucas, o que la ley. Incluso si nos atenemos lineal con el grado dos recurrencias, por ejemplo $$ \color{magenta}{ x_{n+2} = 4 x_{n+1} - x_n}, $$ la proporción de números consecutivos de la secuencia tiene un límite definido, en este caso, el más grande de la raíz de $$ \lambda^2 - 4 \lambda + 1 = 0, $$ o $$ 2 + \sqrt 3 \approx 3.73205, $$ al menos tan largo como empezamos con, digamos, $x_1 \geq x_0.$, por tanto, tomar $$ 1, 1, 3, 11, 41, 153, 571, 2131, 7953, 29681, $$ o $$ 1, 2, 7, 26, 97, 362, 1351, 5042, 18817, $$ Para la primera secuencia, hay constantes $A,B,$ $A > 0,$ tal que $$ x_n = A \, \left(2 + \sqrt 3 \right)^n + B \, \left(2 - \sqrt 3 \right)^n. $$ Para la segunda secuencia, hay (probablemente diferente) constantes $C,D,$ $C > 0,$ tal que $$ x_n = C \, \left(2 + \sqrt 3 \right)^n + D \, \left(2 - \sqrt 3 \right)^n. $$

Para cualquier secuencia, un número dividido por el número anterior en la secuencia es de aproximadamente $2 + \sqrt 3.$

Answer 4

$S_n=\phi^n$ $S_n=(-\phi)^n$ son dos soluciones de la serie de recurrencia $S_n+S_{n+1}=S_{n+2}$, debido a $1+\phi=\phi^2$$1-\phi^{-1}=\phi^{-2}$.

Por linealidad, cualquier combinación de $S_n=a\phi^n+b(-\phi)^{-n}$ es también una solución. Usted puede ajustar el $a$ $b$ para que coincida con cualquiera de los dos valores iniciales. Por ejemplo,

$$S_0=3=a\cdot1+b.1,\\S_1=4=a\cdot\phi-b.\phi^{-1},$$ dando $$a=\frac{3\phi^{-1}+4}{\phi+\phi^{-1}},\\b=\frac{3\phi-4}{\phi+\phi^{-1}}.$$ Para el cultivo de $n$ los poderes de $-\phi$ convertido rápidamente en neglictible (excepto si $a=0$), y $$S_n\approx a\cdot\phi^n,$$a geometric progression of ratio $\phi$.

$$\begin{align} & S_n & a\phi^n\ \ \ \ \ \ \ \ \\ & 3 & 2.61803398875 \\ & 4 & 4.23606797750 \\ & 7 & 6.85410196625 \\ & 11 & 11.0901699437 \\ & 18 & 17.9442719100 \\ & 29 & 29.0344418537 \\ & 47 & 46.9787137637 \\ & 76 & 76.0131556175 \\ & 123 & 122.991869381 \\ & 199 & 199.005024999 \\ & 322 & 321.996894380 \\ & 521 & 521.001919379 \\ & 843 & 842.998813759 \\ & 1364 & 1364.00073314 \\ & 2207 & 2206.99954690 \\ & 3571 & 3571.00028003 \\ & 5778 & 5777.99982693 \\ & 9349 & 9349.00010696 \\ & 15127 & 15126.9999339 \\ & 24476 & 24476.0000409 \\ \end{align}$$

Answer 5

@frimann bjornsson: Su secuencia es $3,4,7,\ldots$, con un índice de $1$, por lo que $u_1=3$, $u_2=4$, $\ldots$. Se puede comprobar que $$u_n = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1} + (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}$$

Esta fórmula nos permite encontrar ciertos términos de la secuencia, por ejemplo $$u_{96}=186982561199565069121\\ u_{97}=302544139324403592003\\ u_{98} = 489526700523968661124\\ u_{99} = 792070839848372253127$$

Considere la posibilidad de $u_{99} = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{100} + (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{100}$. Si multiplicamos por $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ obtenemos $(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{101} + (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{100}\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, que es prácticamente $u_{100} = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{101} + (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{101}$, con un pequeño error de $(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{100}\cdot \sqrt{5}$. Algunos de alta precisión de cálculo, se obtiene:

$$u_{99} \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 792070839848372253127 \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \\ =1281597540372340914251.00000000000000000000282306564641\ldots $$ mientras que $\ \ u_{100} = 1281597540372340914251$

Lo mismo funciona en general.