Descripción explícita $G=\langle a,b,c\mid[a,b]=b\,,\,[b,c]=c\,,\,[c,a]=a\rangle$

Question

Estoy tratando de dar una descripción explícita del grupo $$G=\langle a,b,c\mid[a,b]=b\,,\,[b,c]=c\,,\,[c,a]=a\rangle\,.$ $ generalizando a los generadores de menos, uno termina con el Grupo trivial, es decir, $$G_0=\langle\,\rangle\cong G_1=\langle a\mid [a,a]=a\rangle\cong G_2=\langle a,b\mid[a,b]=b\,,\,[b,a]=a\rangle\cong 1\,.$ $ pero no veo una razón, por qué esto debe sostener para % o $G=G_3$ $G_n$, $n\in\mathbb{N}$.

Edit: perdón, pensé que los símbolos eran estándar. $[a,b]$ se define como el $aba^{-1}b^{-1}$. Esto hace un poco menos trivial.

Answer 1

Si su definición del conmutador $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ luego de esta presentación es el Grupo trivial.

Editar / observación Si el conmutador se define como el $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$ (y esto es lo que se entiende después de todos los comentarios), entonces en vano, el grupo $G$ es trivial todavía. Este es el ejercicio 1 en el famoso libro de Jean-Pierre Serre árboles, pag. 10, en el capítulo que se ocupa de las amalgamas.

Answer 2

Desde $a^{-1} b^{-1} ab = b$, por izquierda multiplicando ambos lados por $a$, obtenemos $b^{-1} ab = ab$, donde $b^{-1}=1$. Así, $b=1$. Del mismo modo, conseguimos que $a$ y $c$ igual también la identidad.