Cómo encontrar el límite de una secuencia definida por la fórmula de recurrencia

Question

Tengo el siguiente problema:

Que $a_{n}$ ser la repetición

$$a_{n+1}=a_{n}+2a_{n-1}$$

$a_{0}=0$ y $a_{1}=1$. Me pueden ayudar a encontrar

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}$$

¿$n\geq 1$?

Answer 1

Usted puede resolver este recurrencia con bastante facilidad utilizando la ecuación característica, para obtener el $a_n = \frac{1}{3}(2^n - (-1)^n)$. Entonces, como $n \rightarrow \infty$, $a_{n+1}/a_n \rightarrow 2$.

Edit: Dado un lineal homogénea de la recurrencia de la relación constante con coeficientes de $a_n = \sum_i c_i a_{n-i}$, suponga $a_n = \alpha^n$ satisface la recurrencia. Entonces obtenemos la ecuación característica $\alpha^n = \sum_i c_i \alpha^{n-i}$. La ecuación característica es un polinomio cuyas raíces (los valores posibles de a $\alpha$ que satisface la recurrencia) definir la solución a la recurrencia. Si las raíces se $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ son únicos (como en este ejemplo), entonces la solución es una combinación lineal de las raíces a las $n$th poder, es decir,$a_n = k_1 \alpha_1^n + k_2\alpha_2^n + \dots + k_m \alpha_m^n$, donde los valores de $k_1,k_2,\dots,k_m$ se definen por las condiciones iniciales. Si no se repiten las raíces, la combinación incluye los poderes de $n$ así, pero en este ejemplo, las raíces son únicos, así que voy a omitir.

Para nosotros, ha $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$$a_0 = 0$$a_1 = 1$. Entonces, la ecuación característica es $\alpha^n = \alpha^{n-1} + 2\alpha^{n-2}$, que se simplifica a $\alpha^2 = \alpha + 2$. El cuadrática soluciones dan a $\alpha_1 = 2$$\alpha_2 = -1$. Entonces, el teorema establece que $a_n = k_1 2^n + k_2 (-1)^n$. Usando las condiciones iniciales, tenemos $a_0 = k_1 2^0 + k_2 (-1)^0 = k_1 + k_2 = 0$$a_1 = k_12^1 + k_2(-1)^1 = 2k_1 - k_2 = 1$. Eso significa que $k_1 = \frac{1}{3}$$k_2 = - \frac{1}{3}$, lo $a_n = \frac{1}{3}(2^n - (-1)^n)$.

Ahora, $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/3(2^{n+1}-(-1)^{n+1})}{1/3(2^n - (-1)^n)} = \lim_{n \to \infty}\frac{2^{n+1}-(-1)^{n+1}}{2^n - (-1)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2-(-1^{n+1}/2^n)}{1 - (-1/2)^n} = \frac{2}{1} = 2$

Answer 2

Definir $b_{n} = \frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ $n \geq 1$ $b_1=1$ $b_{n+1}=1 +\frac{2}{b_n}$ Esto es directo si divide su recursividad con $a_n$.

Vamos a resolver este uso de banach teorema de punto fijo. La función que vamos a aplicar es $f(x)= 1 +\frac{2}{x}$ con el fin de ser capaz de aplicar necesitamos definir esta función en un intervalo, por ejemplo que $|f'(x)| <1 \Leftrightarrow \frac{2}{x^2} <1 \Leftrightarrow x>\sqrt{2}, x>-\sqrt{2}$.

Ahora vamos a demostrar por inducción que $3>b_n\geq \frac{5}{3}, \text{ for } n\geq 3$ $$b_3=\frac{5}{3}$$ Suponga $$\frac{5}{3} \leq b_n < 3$$ $$\frac{6}{5} > \frac{2}{b_n} \geq \frac{2}{3}$$ $$3>\frac{11}{5} >1+ \frac{2}{b_n} \geq \frac{5}{3}$$ Observe $b_n\geq \frac{5}{3} > \sqrt{2}$ Tome $p \in (\sqrt{2}, \frac{5}{3})$ y definir $f$ $[p,3]$ la recursividad es que ahora se le da por $f(b_n)=b_{n+1}.$ $f$ es una contracción ( $|f(x)-f(y)|\leq \sup_{x\in [p,3]|f'(x)}|x-y|$). El solo se fija en que $f$ $2$ Por lo $$b_n \rightarrow 2$$

Answer 3

Que $b_n=a_{n+1}/a_n$. Tenga en cuenta que $b_n=1+2/b_{n-1}$. ¿A ayuda? (debe...)

Answer 4

La respuesta es la raíz real positiva de polinomio característico de la repetición. De la secuencia dada el polinomio característico es x ^ 2 = x + 2. Las raíces {-1, 2}. Entonces la respuesta es 2. Funciona para cualquier recurrencia $$a_{n}=\sum c_{i}a_{i}, \ i<n$$ if $% $ $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}$existe.