¿Si $A$ es un subespacio de camino conectado, es $q_*: \pi_1(X) \to \pi_1(X/A)$ un surjection?

Question

Que $X$ ser un espacio topológico y $A \subset X$ un subespacio camino conectado. Que $q: X \to X/A$ ser el mapa del cociente. Cada ejemplo de que trabajo que parece que el mapa inducido $q_*: \pi_1(X) \to \pi_1(X/A)$ es un surjection. ¿Es esto siempre cierto? ¿Hay algunas condiciones bajo las cuales es cierto?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

No surjective en general. Considerar la topologist curva sinusoidal $S$

$$S = \left\{\left(x, \sin \bigg(\frac{1}{x}\bigg)\right),\ 1/\pi\geq x>0\right\}$$

junto con el intervalo de $A = \{(0, t): |t|\leq 1\}$ y una curva de $C$ unirse a este intervalo hasta el punto de $(1/\pi, 0)$. Llame a $X = A \cup S\cup C$. A continuación, este simplemente se conecta y $X/A$ es homeomórficos a $\mathbb S^1$, con lo que la inducida por el mapa es igual a cero.

Comentario: A ver que $X/A$ es homeomórficos a $\mathbb S^1$ Deje $L = \{ (t,0) : t\in [0,1]\}$. A continuación, $\mathbb S^1$ es homeomórficos a $B:=L\cup C$. Definir $ F : X\to B$ por

$$F(x_1, x_2) = \begin{cases} (x_1,0) & \text{if } (x_1, x_2) \in A\cup S, \\ (x_1, x_2) & \text{if } (x_1, x_2) \in C. \end{cases}$$

Uno puede comprobar que $F$ es continua y $f(A) = \{ (0,0)\}$. Por lo tanto $F$ desciende a una asignación continua $f: X/A \to \mathbb S^1$ que es bijective. Desde $X/A$ es compacto (Desde $X$) $\mathbb S^1$ es Hausdorff, $f$ es un homeomorphism.

Answer 2

Para CW complejos, puede hacer lo siguiente:

1. Use la secuencia exacta de homotopy grupos para demostrar que $\pi_1(X)\rightarrow \pi_1(X,A)$ es surjective.
2. El uso de la escisión de homotopy grupos (Hatcher, Prop. 4.28) para demostrar que $\pi_1(X,A)\rightarrow \pi_1(X/A)$ es surjective.

EDIT: Hay más corto y más poderoso argumento en el uso del teorema de Van Kampen: $X/A$ es homotopy equivalente a la unión de $X$ $CA$ (el cono de $A$) a lo largo de $A$. Como todos los tres espacios de ruta conectado, tenemos que el homomorphism $\pi_1(X)*\pi_1(CA)\to \pi_1(X/A)$ es surjective, y desde $CA$ es contráctiles, tenemos que $\pi_1(X)\to \pi_1(X/A)$ es surjective así. Aviso de que esto funciona en más generalidad de CW-complejos.