En un campo finito producto de elementos no-square es una plaza

Question

Me encontré con un problema en un campo finito como sigue:

Que $F$ ser un campo finito. Demostrar que si $a, b\in F$ tanto no cuadrados, entonces el $ab$ es un cuadrado.

Yo quería probarlo usando la idea de la extensión del campo Biquadratic. Pero no existe ninguna extensión biquadratic sobre campos finitos. ¿Por favor, cualquier sugerencias para probar sobre el hecho? Gracias.

Answer 1

Si la característica de $F$$2$, $x\mapsto x^2$ es un automorphism de $F$ y, por tanto, cada elemento es un cuadrado. Así, podemos asumir que el carácter es una extraña prime.

Considerar el grupo multiplicativo $F^*$ de distinto de cero elementos; el mapa de $x\mapsto x^2$ es un grupo endomorfismo de $F^*$ con kernel $\{1,-1\}$. Por tanto, la imagen $H$ de este mapa es un subgrupo de satisfacciones $|H|=|F^*|/2$; lo que equivale a decir que el $H$, que es el conjunto de todos los cuadrados en $F^*$, el índice de $2$. Por lo tanto, $F^*/H$ es un grupo de elementos y la declaración de la siguiente.

Answer 2

Consejo: supongo, $a,b,\neq 0$ es obvio. $F^*$ es cíclico. Supongamos que se genera por $x$, puede escribir $a=x^n, b=x^m$, $n,m$ impares. Entonces es $n+m$.

Answer 3

El cero es un cuadrado, por lo tanto podemos asumir que tanto $a$ $b$ pertenecen a $\mathbb{F}^*$.
$\mathbb{F}^*$ es un grupo cíclico con el fin de $q-1$: si la característica es $2$, cada elemento de la $\mathbb{F}$ es un cuadrado y no hay nada que demostrar. De lo contrario, podemos suponer que la $\mathbb{F}^*$ es generado por algún elemento $g$, y en tal caso, los residuos cuadráticos en $\mathbb{F}^*$ son los elementos de la forma $g^{\text{even}}$ y los no residuos cuadráticos son los elementos de la forma $g^{\text{odd}}$. Desde $\text{odd}+\text{odd}=\text{even}$, el producto de dos no residuos cuadráticos es una ecuación cuadrática de los residuos, es decir, el símbolo de Legendre es multiplicativo.

Answer 4

Egreg del argumento es probablemente el más simple, seguido por el uso de la ciclicidad de la multiplicativo grupo como se indica por Tsemo y Jack. El siguiente enfoque podría estar más cerca de su primera idea - utilizando el hecho de que un campo finito no tiene biquadratic extensiones.

Así que mi respuesta el hecho de que un campo finito $F$ tiene un único cuadrática de extensión (hasta un $F$-isomorfismo).

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Nos dan dos elementos $a,b\in F$ que no tienen una raíz cuadrada en $F$. Por lo tanto, la extensión de los campos de $F(\sqrt a)$ $F(\sqrt b)$ son de segundo grado, y por lo tanto isomorfo $F$. Esto significa que podemos encontrar una raíz cuadrada de $b$ dentro de $F(\sqrt a)$. Más precisamente, esto implica que no existen elementos $c_1,c_2\in F$ tal que $$ (c_1+c_2\sqrt a)^2=b.\qquad(*) $$ La expansión de la mano izquierda da $$ (c_1^2+ac_2^2)+2c_1c_2\sqrt a=b. $$ Debido a $1,\sqrt a$ es una base para la extensión, y el lado derecho es un elemento de $F$ podemos concluir que debemos tener $2c_1c_2=0$. Hay tres maneras de cómo esto podría suceder:

• Si $2=0$, entonces estamos en el carácter de los dos, el cuadrado es inyectiva (ver Jack respuesta, o inferir a partir de Egreg la respuesta de que el cuadrado tiene trivial kernel), y por lo tanto todos los elementos de a $F$ son cuadrados.
• Si $c_2=0$, $(*)$ es decir que $c_1^2=b$ contradiciendo la suposición de que $b$ no tiene raíz cuadrada de $F$.
• Que deja la posibilidad de $c_1=0$. De modo que existe un elemento de a $c_2\in F$ tal que $ac_2^2=b$. Esto implica que $$(ac_2)^2=a(ac_2^2)=ab$$ y por lo tanto en este caso $ab$ es el cuadrado de un elemento de $F$.