¿Por qué es importante la normalidad asintótica para un estimador?
No diría que es importante, en realidad, pero cuando sucede, puede ser conveniente, y el hecho es simple, sucede a menudo -- para muchos estimadores populares en modelos de uso común, se da el caso de que la distribución de un estimador adecuadamente estandarizado será asintóticamente normal.
Así que, lo desee o no, sucede. [De hecho, en estas notas Charles Geyer dice que "casi todos los estimadores de interés práctico son [...] asintóticamente normales", y creo que es probablemente una valoración justa].
¿Es porque permite construir fácilmente los intervalos de confianza?
Bueno, permite construir fácilmente intervalos de confianza si los tamaños de las muestras son lo suficientemente grandes como para poder aproximar razonablemente la distribución de la muestra como normal. ... siempre y cuando tengas un ordenador, o tablas, o recuerdes los valores críticos que quieres. [Sin ninguno de ellos, sería ligeramente inconveniente ... pero puedo arreglármelas bien incluso si decido calcular un intervalo del 85% o un intervalo del 96,5% o lo que sea, incluso si no tengo un ordenador o tablas, ya que puedo tomar un valor cercano que conozco, o un par de valores cercanos a ambos lados del valor que quiero, y jugar un poco con una calculadora . ... o, en el peor de los casos, con un bolígrafo y un papel, y obtener un intervalo que sea lo suficientemente preciso; después de todo, ya es una aproximación en al menos un par de formas diferentes, así que ¿qué precisión necesito realmente?]
Pero realmente no lo haría decir que "quiero la normalidad asintótica por eso".
Construyo IC de muestra fina todo el tiempo sin preocuparme por la normalidad. Estoy perfectamente feliz de usar un intervalo binomial(40,0.5) o un $t_{80}$ intervalo o un $\chi^2_{100}$ intervalo o un $F_{60,120}$ en lugar de tratar de invocar la normalidad asintótica en cualquiera de esos casos, por lo que la asintótica-algo más no habría sido un gran problema. De hecho, yo utilizo pruebas de permutación al menos a veces, y genero ICs a partir de distribuciones de permutación o aleatorias, y me importa un bledo la distribución asintótica cuando lo hago (ya que uno condiciona la muestra, la asintótica es irrelevante).
¿No es posible construir intervalos de confianza sin esta propiedad, es decir, si converge a otra distribución?
Sí, absolutamente. Imagínese que algún estimador a escala fuera digamos asintóticamente chi-cuadrado con 2df (que no es normal). ¿Me molestaría? ¿Sería siquiera un ligero inconveniente? En absoluto. (En todo caso, en algunos aspectos sería más fácil)
Pero incluso si la distribución asintótica no fuera especialmente conveniente, eso no me molestaría necesariamente. Por ejemplo, puedo utilizar felizmente una prueba de Kolmogorov-Smirnov sin dificultad, y el estadístico es un estimador de algo. No es conveniente en el sentido de que sólo podría escribir la distribución asintótica como una suma infinita (pero es conveniente en el sentido de que simplemente sigo adelante y utilizo tablas o un programa informático para hacer cosas con ella... igual que hago con la normal).
Por otro lado, no necesitamos (y no deberíamos) ignorar el hecho de que los tipos de estimadores más comunes suelen ser asintóticamente normales: los MLE suelen ser asintóticamente normales, al igual que los estimadores del método de los momentos y los estimadores basados en cuantiles (no extremos) (y otros más). No voy a ignorarlo cuando ocurra.
Por favor, dígame algunas razones por las que quiere que un estimador sea asintóticamente normal.
Yo no, especialmente. Pero si ocurre, estoy feliz de usar ese hecho siempre que sea conveniente y razonable hacerlo en lugar de otra cosa.
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¿Tal vez no sea una cuestión de deseos, sino de hechos matemáticos?