Generalización de espacios con producto interno (análogo a uniforme espacios/localmente convexos espacios)

Question

En la siguiente me voy a elaborar un gráfico de espacios topológicos que contiene el producto interior de los espacios, la normativa espacios vectoriales, espacios métricos y otros espacios relacionados. Al final habrá un espacio en el gráfico y, esencialmente, mi pregunta es cómo llenar este vacío.

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Paso 1: Espacios con positiva definida estructuras
Un espacio topológico puede ser generado, e. g., por alguna estructura como el interior de los productos, las normas y las métricas. Interior de los productos, las normas y las métricas tienen una propiedad en común: son positiva definida.

• $\langle x,x\rangle \geq 0$ $(\langle x,x\rangle =0 \implies x=0)$
• $||x|| \geq 0$ $(||x||=0 \implies x=0)$
• $d(x,y) \geq 0$ $(d(x,y)=0 \implies x=y)$

Es bien sabido que cada producto interior induce una norma y cada norma induce una métrica.

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Paso 2: Espacios positivos semi-definida estructuras
Si nos relajamos la positiva definida propiedades un poco, nos quedamos con positiva semi-definida estructuras:

• En lugar de interior productos tenemos simétrica positiva semi-definida de formas bilineales (o hermitian positiva semi-definida sesquilinear formas). Voy a llamar a semi-interior de los productos a continuación; por favor, tenga en cuenta que este nombre no se utiliza constantemente en la literatura/internet.
• En lugar de las normas entonces tenemos semi-normas.
• En lugar de métricas entonces tenemos pseudometrics.

Y de nuevo, uno puede mostrar que cada uno de semi-producto interior induce un semi-norma y cada uno semi-norma induce un pseudometric.

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Paso 3: Espacios con las familias de positiva semi-definida estructuras

• La generalización de un espacio métrico es llamado un espacio uniforme. Uniforme estructuras están conectadas a pseudometrics: una forma de definir el uniforme de los espacios es a través de una familia de pseudometrics.
  ^{Véase, por ejemplo, Bourbaki, Topología General II, Capítulo IX, §1, sección 2, la Definición de una uniformidad por medio de una familia de pseudometrics.}
• La generalización de una normativa espacio vectorial se denomina localmente convexo del espacio. Localmente convexo espacios puede ser definido por una familia de semi-normas en un espacio vectorial.
  ^{Ver por ejemplo el artículo de la Wikipedia sobre localmente convexo espacios.}

Localmente convexo espacios puede ser interpretado como una subclase de uniforme espacios.

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Resumen:
Esencialmente, lo que obtenemos es el siguiente gráfico de estructuras y espacios, donde cada flecha se puede leer como "es un/puede ser interpretado como una":

POS. DEF. STRUCTURE   |   POS. SEMI-DEF. STRUCTURE   |  FAM. OF POS. SEMI-DEF. STRUCTURES
----------------------------------------------------------------------------------------
Inner product space  -->  Semi-inner product space  -->    ???
        |                        |                          |
        V                        V                          V
Normed vector space  -->  Semi-normed vector space  -->  Locally convex space
        |                        |                          |
        V                        V                          V
Metric space         -->  Pseudometric space        -->  Uniform space

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Mis preguntas:
¿Cómo puede el gap ("???") en el gráfico de arriba se llena? Hay una generalización de un producto interior espacio que se construye con una familia de semi-interior de los productos de manera similar a cómo uniforme y espacios localmente convexos espacios pueden ser construidos por las familias de pseudometrics y semi-normas? Hacer estas generalizada producto interior los espacios tienen un nombre especial que no he encontrado todavía, y han sido estudiados sistemáticamente?

Answer 1

Uno puede mostrar que cada una (semi-)la norma que satisface la identidad del paralelogramo

$$ 2\lVert x\rVert^2 + 2\lVert y\rVert^2 = \lVert x + y\rVert^2 + \lVert x - y\rVert^2 $$

es generada por un (semi-)producto interior. Esto ha sido examinado, e. g., en esta pregunta aquí en Matemáticas de Intercambio de la Pila. Podemos concluir:

• Producto interior espacios son precisamente aquellos normativa espacios vectoriales cuyas normas satisfacer el paralelogramo de identidad.
• Semi-producto interior espacios son, precisamente, los semi-normativa espacios vectoriales cuya semi-normas de satisfacer el paralelogramo de identidad.
• ???-los espacios son precisamente aquellos localmente convexo espacios de cuya familia de semi-normas de cada uno satisface la identidad del paralelogramo.

De acuerdo a un artículo por Hicks y Huffman, Precupanu ha nombrado a estos espacios H-localmente convexo espacios. Si este espacio es completo, es llamado un Generalizada espacio de Hilbert. Algunas propiedades:

• En el documento mencionado, Hicks y Huffman demostrar algunos teoremas de punto fijo - so, H-localmente convexo espacios parecen tener algunas propiedades interesantes que son/han sido digno de estudio.
• Naimpally, Singh y Whitfield mencionar que la nuclear espacios son un subconjunto de la generalizada espacios de Hilbert.

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Para dar un resumen, puedo reproducir el gráfico de espacios con H-localmente convexo espacios llenos:

POS. DEF. STRUCTURE   |   POS. SEMI-DEF. STRUCTURE   |  FAM. OF POS. SEMI-DEF. STRUCTURES
----------------------------------------------------------------------------------------
Inner product space  -->  Semi-inner product space  -->  H-locally convex spaces
        |                        |                          |
        V                        V                          V
Normed vector space  -->  Semi-normed vector space  -->  Locally convex space
        |                        |                          |
        V                        V                          V
Metric space         -->  Pseudometric space        -->  Uniform space

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