Muestran que

Question

Que $(x,y,z) \in (\mathbb{R}^+)^3$ tal que $x + y + z \leq \frac{\pi}{2}$.

Mostrar que %#% $ #%

Tengo una solución con convexidad de $$\sin(x)\sin(y)\sin(z) \leq \frac{1}{8}$ pero yo estoy buscando un cual método no utiliza la convexidad.

EDIT: no quiero usar la convexidad porque me gustaría hacer el ejercicio de acuerdo con el programa de high School secundaria (aunque no sé si esto es posible)

Answer 1

primero se demuestra cuando $x+y+z=\dfrac{\pi}{2},\sin(x)\sin(y)\sin(z) \leq \dfrac{1}{8}$:

$\sin(y)\sin(z)=\dfrac{cos(y-z)-cos(y+z)}{2} \le \dfrac{1-cos(y+z)}{2}=\dfrac{1-sin(x)}{2}$

porque $cos(y-z) \le 1 $ cuando $y=z$ «= 1»

$\sin(x)\sin(y)\sin(z) \le \dfrac{\sin(x)-\sin^2(x)}{2}=\dfrac{-(\sin(x)-0.5)^2+0.25}{2} \le \dfrac{1}{8}$

Cuando $\sin(x)=0.5$ obtener $\dfrac{1}{8} \implies x=y=z=\dfrac{\pi}{6}$

en caso de $x+y+z\le \dfrac{\pi}{2}$, que $k=\dfrac {x+y+z}{\dfrac{\pi}{2}}\le1,x=kx',y=ky'.z=kz' \implies x'+y'+z'= \dfrac{\pi}{2},$

en $(0,\dfrac{\pi}{2}],0<\sin(x) \le sin(x') \implies \sin(x)\sin(y)\sin(z) \le \sin(x')\sin(y')\sin(z')$

Cuando $k=1$ haz "="

Answer 2

Usar el hecho de que para un sigue la función en una región compacta el máximo puede ser en cualquier punto donde $f' = 0 $ o en el borde de la región.