los conos en la categoría de derivados

Question

Si tengo dos exacta triángulos $X \to Y \to Z \to X[1]$ $X' \to Y' \to Z' \to X'[1]$ en un triangular categoría, y he morfismos $X \to X'$, $Y \to Y'$ que 'commute" (es decir, tal que $X \to Y \to Y' = X \to X' \to Y'$), thene existe una (no necesariamente único) mapa de $Z \to Z'$ que completa lo que tenemos a una de morfismos de triángulos.

Hay un criterio que asegura la singularidad de este cono-mapa?

Me gustaría algo a lo largo de las líneas de: si $\operatorname{Ext}^{-1}(X,Y')=0$, entonces sí.

(Yo podría ser demasiado optimista, cfr. La proposición 10.1.17 de Kashiwara-Schapira Categorías y las Poleas: además de a $\operatorname{Hom}{(X[1],Y')} = 0$ también se supone $\operatorname{Hom} {(Y,X')} =0$. Yo realmente no tiene este segundo supuesto.)

(En el caso que yo estoy interesado en $X=X', Y=Y'$ y $X\to X'$, $Y \to Y'$ son los mapas de identidad.)

(Si hace las cosas más fáciles, aunque lo dudo, usted puede tomar la categoría a la limitada derivada de la categoría coherente de las poleas en algunos, bastante desagradable, esquema.)

En el contexto que tengo en mente $X, Y, X', Y'$ son todos los objetos del corazón de un almacén de t-estructura. Si asumimos $\operatorname{Hom}{(Z,Y')} = 0$ o $\operatorname{Hom}{(X[1],Z')} = 0$, entonces el resultado fácilmente de la siguiente manera. No creo que yo soy feliz haciendo estos supuestos, sin embargo.

Answer 1

La singularidad de la condición de los mapas entre los conos es muy restrictiva. Si se mantiene para cada conmutativa de la plaza, de hecho, esto significa que se podría definir un "cono functor" $\mathrm{Mor}(\mathcal T) \to \mathcal T$ a partir de la categoría de morfismos de sus nidos categoría $\mathcal T$ $\mathcal T$sí (sólo tiene que elegir un cono de objeto para cada uno de los morfismos, entonces su singularidad condición asegura que el cono functor está bien definido en morfismos). Resulta que esto hace que $\mathcal T$ un semisimple abelian categoría, si $\mathcal T$ es asumido Karoubian (es decir, cada idempotente divide; muchas de las categorías trianguladas se Karoubian). He encontrado una prueba de esta afirmación en el siguiente artículo:

http://www.math.uni-bielefeld.de/~gstevens/no_functorial_cones.pdf

En conclusión: usted no puede esperar que su singularidad condición para sostener a nivel mundial en la "utilidad" categorías trianguladas. No es una técnica para superar este problema, es decir, el uso de pre-nidos dg-categorías (introducido por Bondal y Kapranov) para "levantar" categorías trianguladas. En este nuevo marco se han functorial conos.

Tal vez esto no contesta a su pregunta específica (que, como yo lo entiendo, es acerca de un determinado conmutativa de la plaza), pero se debe señalar que el deseado singularidad es, a grandes rasgos, muy difícil de obtener en general.