¿Qué significa es "extender linealmente" en álgebra lineal?

Question

La siguiente propuesta es de uno de Gowers artículos:

Deje $X$ ser un espacio vectorial, y $x\in X$, $x\neq {\bf 0}$. Entonces existe un lineal mapa de $g:X\to {\mathbb R}$ tal que $g(x)\neq 0$.

La existencia de este mapa puede ser demostrado de la siguiente manera. Usando el axioma de elección, uno puede mostrar que el vector $x$ puede extenderse a una base de $X$. Deje $g(x)=1$, vamos a $g(y)=0$ y se extienden de forma lineal.

Aquí están mis preguntas:

• ¿Qué significa "extender linealmente" significa que en la prueba?
• No veo ningún contexto acerca de lo $y$ es en su prueba. Entonces, ¿qué está aquí?

Answer 1

Primero de todo, estoy asumiendo $X$ $\mathbb{R}$- espacio vectorial, entonces $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$- espacio vectorial y todo tiene sentido (recordemos que lineal mapas sólo tiene sentido entre espacios vectoriales b) definida sobre el mismo campo).

$x\in X$ es un no-vector cero, por lo tanto $\{x\}$ es un conjunto linealmente independiente en $X$. Por lo tanto (axioma de elección), se puede extender a una base $B$$X$. Esto significa que no existe $B\subset X$ base para $X$ tal que $x\in B$.

Ahora, para definir un lineal mapa de $g:X\to \mathbb{R}$ podemos definir en una base, y luego se extienden por la linealidad. En este caso, podemos hacerlo así:

deje $g(x)=1$ $x$ hemos recogido anteriormente. Ahora vamos a $g(y)=0$ por cada $y\in B\setminus \{x\}$.

Esta es una función de $g: B\to \mathbb{R}$. Puede ser extendido a una lineal mapa de $\tilde{g}: X\to \mathbb{R}$ como este:

Escribir $B=\{e_i\}_{i\in I}$. Todos los vectores $v\in X$ es una combinación lineal de los vectores en $B$: existen únicos escalares $a_i$ tal que $v=\sum_{i=1}^n a_i e_i$.

Luego de definir el mapa de $\tilde{g}:X\to \mathbb{R}$ $$\tilde{g}(v)=\sum_{i=1}^n a_i g(e_i)$ $

Es lineal en el mapa (cheque).

(De hecho, es lo que uno normalmente hace en álgebra lineal: si $B$ es una base de un espacio vectorial $V$, entonces dado cualquier otro espacio vectorial $W$, para cualquier función de $g:B\to W$ existe una única lineal mapa (llamada de extensión lineal) $\tilde{g}: V\to W$ tal que $\tilde{g}|_B=g$. En este caso, $W$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$- espacio vectorial).

Answer 2

(1) Si $x\neq 0$ es un vector en $X$, entonces hay una base ${\cal B}$ $X$ tal que $x\in {\cal B}$ por el axioma de elección. Tenga en cuenta que un funcional lineal $T:X\to \mathbb{R}$ está totalmente determinado por su acción sobre el ${\cal B}$ (o, de hecho, a cualquier fundamento de $X$).

(2) Si $y\in {\cal B}$ pero $y\neq x$, entonces podemos definir $T(y)=0$; también se definen $T(x)\neq 0$. Tenga en cuenta que $T$ se extiende linealmente a un funcional lineal en $X$. Más precisamente, si ${\cal B}=\{y_i\}_{i\in I}$ donde $I$ es un conjunto de índices y si $x=\Sigma_{i\in I} c_iy_i$ donde todos pero un número finito de coeficientes en esta suma se $0$, entonces podemos definir (y, de hecho, se ven obligados a definir) $T(x)=\Sigma_{i\in I} c_iT(y_i)$.

Ejercicio 1: Vamos a $V$ ser finito dimensional espacio vectorial y deje $W$ ser un espacio vectorial arbitrario. Si $(v_1,\dots,v_n)$ es una base de $V$ e si $(w_1,\dots,w_n)$ es arbitraria tupla de vectores en $W$, demostrar que no existe una única lineal mapa de $T:V\to W$ tal que $T(v_i)=w_i$ todos los $1\leq i\leq n$.

Ejercicio 2: Deje $V$ ser arbitrario (real) de espacio vectorial.

(a) prueba (usando el axioma de elección) que $V$ tiene una base ${\cal B}=\{y_i\}_{i\in I}$ (donde $I$ es un conjunto de índices).

(b) Si $c_i\in \mathbb{R}$ todos los $i\in I$, demostrar que no existe una única lineal funcional $T:V\to \mathbb{R}$ tal que $T(y_i)=c_i$ todos los $i\in I$.

Reto: Vamos a $X$ a (real) de espacio vectorial. Decimos que $X$ es una normativa espacio lineal si hay una función de $X\to [0,\infty)$ con las siguientes propiedades (por conveniencia notacional, se denota la imagen de $x\in X$ bajo esta función por $\left\|x\right\|$):

1. $\left\|x\right\|=0$ si y sólo si $x=0$.
2. $\left\|\alpha\cdot x\right\|=\left|\alpha\right|\left\|x\right\|$ todos los $x\in X$ y todos los escalares $\alpha\in \mathbb{R}$.
3. $\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|$ todos los $x,y\in X$.

Un funcional lineal $g:X\to\mathbb{R}$ se dice que es acotado lineal funcional si

$\left\|g\right\|=\{\frac{\left|g(x)\right|}{\left\|x\right\|}:x\in X, x\neq 0\}<\infty$.

Si $g:X\to\mathbb{R}$ es un delimitada lineal funcional, entonces la norma de $g$ se define como el número de $\left\|g\right\|$ (por encima).

Probar el de Hahn-Banach teorema:

Deje $X$ ser una normativa espacio lineal ( $\mathbb{R}$ , si se prefiere) y deje $Y\subseteq X$ ser un subespacio. Si $f:Y\to \mathbb{R}$ es un delimitada lineal funcional, demostrar que existe una limitada lineal funcional $F:X\to\mathbb{R}$ tal que $F(y)=f(y)$ todos los $y\in Y$ y $\left\|F\right\|=\left\|f\right\|$.

Espero que esto ayude!