Encontrar el número de matrices cuyo cuadrado es la matriz identidad

Question

cómo podemos encontrar el número de matrices con entradas reales de tamaño $9 \times 9$ (hasta la similitud) tal que $A^{2}=I$ ?

Primero pensé en lo siguiente:

Aviso $A$ satisface el polinomio $f(t)=t^{2}-1$ por lo que su polinomio mínimo divide a $(t-1)(t+1)$ .

Así que su polinomio característico es de la forma $p(t)=(t-1)^r(t+1)^j$ donde $r+j = 9$ ¿cierto? Entonces no sé qué hacer, he intentado considerar la forma canónica racional pero para ello necesitamos conocer el polinomio mínimo ¿no? porque en la forma canónica racional el último término de la matriz es exactamente el polinomio mínimo, ¿cómo encontrarlo?

¿Puede ayudar, por favor?

Answer 1

Los valores propios son efectivamente $\pm 1$ por lo que la ecuación $A^2=I$ se resuelve exactamente por todos $A$ de la forma $$ A = C D C^{-1} $$ donde $C$ es un no-singular arbitrario $9\times 9$ matriz y $D$ es una matriz diagonal arbitraria con $r$ entradas $+1$ y $j$ entradas $-1$ , $r+j=9$ . Este conjunto de la solución tiene varios componentes desconectados con las etiquetas $(r,j)$ . Cada componente tiene la dimensión $80-36=44$ Supongo que porque entre los $80$ a priori posibles generadores de $SL(9)$ los generadores de $SO(r,j)$ no cambies la matriz.

Answer 2

Como se observa, el polinomio mínimo divide $(t-1)(t+1)$ . Como el polinomio mínimo se divide y es libre de cuadrados, eso significa que la matriz es necesariamente diagonalizable. Por lo tanto, se quiere una matriz diagonalizable con valores propios $-1$ y/o $1$ . Sólo tienes que elegir cuántas veces $1$ es un valor propio (de $0$ a través de $9$ ) para obtener todos los tipos de similitud.

Answer 3

Mi opinión es que no hay que eliminar variables porque no sean significativas si son de interés teórico. A veces, un efecto pequeño es más interesante que uno grande (por ejemplo, si estudios anteriores han encontrado un efecto grande). Además, si sus variables no se miden con una fiabilidad perfecta, la potencia de las interacciones será menor que la de los efectos principales.