Cómo probar $I + t X$ es invertible para un tamaño suficientemente pequeño $ | t | ?$

Question

Dejemos que $X \in \text{GL}_n(\mathbb{R})$ sea un real arbitrario $n\times n$ matriz. ¿Cómo podemos demostrar rigurosamente: $$ \underset{b>0} {\exists} : \underset{|t|\le b} {\forall} : \det (I + t X) \neq 0 $$ Si fuera necesario, también podríamos suponer que $t \ge 0.$

Answer 1

Tenga en cuenta que para $t\neq 0$ $$ \det(I+tX) = t^n\det(\frac{1}{t}I+X) = 0 $$ sólo si $\frac{-1}{t}$ es un valor propio de $X$ . Si $ t=0$ la declaración es trivial por lo que excluimos este caso.

Desde $X$ sólo tiene un número finito de valores propios, su conjunto de valores propios está acotado en magnitud. Para todos los $t$ suficientemente pequeño $|\frac{-1}{t}|$ será mayor que este límite de magnitud, por lo que $\frac{-1}{t}$ se no sea un valor propio de $X$ y, por lo tanto, tendremos $$ \det(I+tX) \neq 0. $$

Answer 2

Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero. Pero el determinante es una función continua, por lo que $GL_n$ es abierto como subconjunto del espacio de todos los $n\times n$ matrices, por lo que hay una vecindad de $I$ sin elementos singulares.

En particular, el cambio $I$ (o cualquier otra matriz invertible) por un múltiplo suficientemente pequeño de cualquier matriz dada $X$ (no necesariamente invertible) no se mueve $I$ fuera de la vecindad, dejando la matriz invertible.

Answer 3

Dejemos que $\lVert\cdot\rVert$ una norma submultiplicativa sobre el conjunto de $n\times n$ matrices reales, denotadas $\mathbf M_n(\Bbb R)$ (podemos tomar $\lVert M\rVert:=\sup_{x\neq 0}\frac{\lVert Mx\rVert}{\lVert x\rVert}$ , donde $\lVert\cdot\rVert$ es la norma euclidiana). Esta norma hace que $\mathbf M_n(\Bbb R)$ completa (ya que es una norma sobre un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\Bbb R$ . Para $A\in \mathbf M_n(\Bbb R)$ de la norma $<1$ tenemos $$(I-A)\sum_{j=0}^{+\infty}A^j=I=\sum_{j=0}^{+\infty}A^j(I-A),$$ por lo que $I-A$ es invertible (la serie es normalmente convergente, y el espacio es completo, convergente).

Si $X=0$ la afirmación es obviamente verdadera, y si $X\neq 0$ podemos tomar $b<\frac 1{\lVert A\rVert}$ .

Answer 4

El determinante de una matriz es un polinomio (y por tanto continuo) en su $n^2$ entradas. Tomando el límite como $t\to 0$ hace que todas las entradas diagonales tiendan a $1$ y todas las demás entradas a $0$ por lo que el determinante tiende a $1.$ Así que existe un barrio alrededor de $t=0$ tal que el determinante de todas esas matrices tiene determinante positivo, por lo que son invertibles.

Answer 5

$\det(A)$ es una función polinómica en las entradas de $A$ . La solución establecida para $\det(A) = 0$ es un subconjunto cerrado, por lo que el conjunto de matrices invertibles es un conjunto abierto. En particular, existe una vecindad abierta $U$ de $I$ tal que cada matriz en $U$ es invertible. Al elegir $t$ suficientemente pequeño, garantizamos $I + tX \in U$ .

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$\det(I + tX)$ es una función polinómica de $t$ y así $\det(I + tX) = 0$ tiene un número finito de raíces, y $t=0$ no es una raíz. Por lo tanto, podemos encontrar un intervalo abierto que contenga a 0 tal que $I + tX$ es invertible en ese intervalo.

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Podemos calcular la serie de Taylor para $(I + tX)^{-1}$ alrededor de 0:

$$ (I + tX)^{-1} = I - t X + t^2 X^2 - t^3 X^3 + \cdots $$

No es difícil ver que el lado derecho es convergente en cada componente de la matriz (por ejemplo, la prueba de proporción junto con un límite superior en las entradas de $X^n$ ) en un intervalo de radio positivo. Multiplicando por $(I + tX)$ podemos comprobar que la suma es realmente la inversa.