Sea$f:D \to S $ un mapa continuo del disco unitario cerrado en$R^2$ en una superficie cerrada del género$g \geq 1$ tal que$f|_{\partial D}$ es una incorporación (homeomorfismo sobre su imagen) con Image $\gamma$ Una simple curva cerrada. Entonces,$\gamma$ limita un disco incrustado$D* \subset S$ y me pregunto si es cierto que$D* \subset f(D)$.
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Mike Miller
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Linda pregunta. Suponiendo que el género es menos de cero, sí. (Si estuviera trabajando en el ámbito usted podría tener su mapa-de-disco a la parte superior del hemisferio y el elegido incrustado disco a la parte inferior del hemisferio.)
Para suponer que no. Entonces habrá un punto de $x$ en el interior de $D^*$ que la imagen del disco se pierde. A continuación, el límite de la curva de $\gamma$ es un bucle alrededor de $x$ que es nulo homotópica en la superficie, con ese punto eliminado. Pero el perforado de género $g$ deformación de la superficie, se retrae en la cuña de $2g$ círculos (saca una foto de la fundamental de dominio con la punción en el medio!) y este lazo $\gamma$ se asigna a la (no trivial) palabra $[a_1,b_1]\cdots [a_g,b_g]$$\pi_1(\vee_{2g} S^1) = F_{2g}$, el grupo libre en $2g$ generadores.
Por lo $\gamma$ es no nulo homotópica en $\Sigma_g \setminus \{x\}$, y esto es una contradicción. Por lo $D^* \subset f(D)$.
Esta es la respuesta para los que no necesariamente compacto colectores de dimensión arbitraria. Se utiliza mucho más la maquinaria de la otra respuesta.
Deje $M$ ser simplemente conectado el colector con la esfera límite de $S$, y deje $M'$ ser el colector obtenidos mediante la cumplimentación de la frontera con un disco. Si la inclusión $S \hookrightarrow M$ es nulo homotópica, a continuación,$M = D^n$. Null-homotopy me da un mapa de $(D^n,S) \to (M,S)$, y puedo completar esta a un mapa de $S^n \to M'$ de grado 1. Por la dualidad de Poincaré este es un isomorfismo en cohomology (si $M'$ tiene un trivial cohomology de la clase $\alpha \in H^k(M')$, hay algunos $\beta \in H^{n-k}(M')$$\alpha \smile \beta \neq 0$; invocar que tenemos un trivial homomorphism $H^*(M') \to H^*(S^n)$. Hacer esto con $\Bbb Q$ $\Bbb Z/p$ coeficientes de matar a todos los de torsión y no de torsión cohomology.) La suposición de que $M$ es simplemente conectados implica por Whitehead que es un homotopy de equivalencia. Por lo tanto, por la generalización de la topológicos de la conjetura de Poincaré $M'$ es homeomórficos a $S^n$ $M$ es homeomórficos a $D^n$ como se desee.
(Esto es aún más fácil si $M$ no está simplemente conectado; acaba de levantar el mapa de la disco a la universalización de la cobertura de $M$ y llenar los demás componentes del borde para obtener un no-surjective mapa de grado 1.)
Ahora, supongamos que yo había incrustado esfera $S \subset M$ (con un tubular de barrio) que delimitadas un balón en uno de los lados. Llame el otro lado (con $S$) $M'$. Supongamos que yo tenía una extensión para el disco de $D \to M$ de este mapa en el que lo hizo no surject hacia el balón. A continuación, pinchando me gustaría ver que esto implica que la inclusión de la frontera $S \subset M'$ es nulo homotópica. La de arriba, a continuación, implica que $M' = D^n$ como se desee.
Yo en realidad nunca se necesita que $M$ fue compact aquí!
