¿De colector a colector?

Question

Se supone que las ecuaciones tensoriales permanecen invariantes en formulario wrt transformaciones de coordenadas donde la métrica se conserva. Es importante tener en cuenta el hecho de que la invariabilidad de forma de las ecuaciones tensoriales es consistente con el hecho de que los componentes individuales del tensor pueden cambiar al pasar de un marco a otro [Por cierto, la preservación de la métrica implica la preservación de la norma, los ángulos, etc.].

Pero en la Relatividad General las ecuaciones tensoriales (ejemplos: la ecuación geodésica, las ecuaciones de Maxwell en forma covariante) se consideran invariantes en su forma cuando pasamos de una variedad a otra. La métrica no se preserva en estas situaciones. La preservación del valor del elemento de línea es consistente con el hecho de que $g_{\mu\nu}$ puede considerarse como un tensor covariante de segundo rango:

$ds'^2=ds^2$

${=>}g'_{\mu\nu}dx'^{\mu}dx'^{\nu}=g_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}$

${=>}g'_{\mu\nu}=g_{\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}}{dx'^{\mu}}\frac{dx^{\beta}}{dx'^{\nu}}$

Cálculos rigurosos:

$ds'^2=g'_{\mu\nu}dx'^\alpha dx'^\beta$

$=g'_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}{d x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}{d x^\beta}$

$=g'_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}{d x^\alpha}{d x^\beta}$

$=>g_{\alpha\beta}=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}g'_{\mu\nu}$

Por lo tanto, $g_{\mu\nu}$ es un tensor covariante de rango dos.

Pero en la prueba anterior hemos asumido el valor de $ds^2$ Esto no es cierto cuando se consideran diferentes tipos de variedades.

La no conservación del valor de $ds^2$ tendrá como resultado el despido $g_{\mu\nu}$ como un tensor de segundo rango de tipo covariante. Esta será la situación si pasamos de una colector a otra.*Es importante destacar el hecho de que el problema se mantendrá incluso si cuando pasamos de una colector arbitraria al espaciotiempo plano en particular al marco inercial local.*Las consideraciones diferenciales no mejoran los asuntos como se indica en el cálculo anterior. El propio concepto de tensor se ve alterado al considerar una variedad diferente/distinta.

¿Cuál es el fundamento matemático de la invariancia de forma de las ecuaciones tensoriales en tales aplicaciones en las que consideramos variedades diferentes/distintas?

Answer 1

La pregunta parece mezclar muchas cosas diferentes:

• la invariabilidad de una cantidad matemática (normalmente un escalar como $ds^2$ para la separación de dos eventos en la relatividad especial)
• covarianza de los tensores (los valores de los componentes de los tensores pueden calcularse a partir de los de otro marco, pero no son lo mismo)
• la universalidad de las ecuaciones en diferentes situaciones (las mismas ecuaciones -que definen una teoría- tienen muchas soluciones y las soluciones diferentes, por ejemplo, las formas diferentes de los manifiestos, no suelen tener ninguna relación entre sí)

Estas cosas quizá estén relacionadas y se parezcan, pero no son lo mismo. En la relatividad especial, algunos objetos como $p_\mu p^\mu$ para un vector energía-momento $p^\mu$ son "invariantes", lo que realmente significa que el valor de esta cantidad escalar no cambia en absoluto si se realiza una transformación de Lorentz $L$ : $$ L(p)^\mu L(p)_\mu = p^\mu p_\mu $$ Luego están los tensores, que son cualquier objeto que se transforma "covariantemente": $$ L(T)_{\alpha\beta\dots \omega} = T_{\alpha' \beta' \dots \omega'} L^{\alpha'}_{\alpha} L^{\beta'}_{\beta} \dots L^{\omega'}_{\omega} $$ lo que significa que se transforman como "productos tensoriales de vectores": cada índice se contrae con una copia de la matriz de la transformación de Lorentz.

Las ecuaciones de campo en relatividad especial son covariantes: (después de que todos los términos se trasladen al lado izquierdo y el lado derecho desaparezca) se transforman como tensores, lo que significa que si desaparecen (se mantienen) en un marco de referencia, también lo hacen en otro. Sin embargo, los valores numéricos particulares de los componentes de un tensor (covariante) dependen del sistema de referencia. No son "invariantes" (no cambian), sino que son simplemente "covariantes" (cambian junto con las coordenadas, según una regla tensorial universal).

En la relatividad general, los campos como el tensor de Ricci son funciones de las coordenadas del espaciotiempo. En cada punto, los objetos se transforman como tensores (como se ha explicado anteriormente) bajo transformaciones de coordenadas que se reducen a transformaciones de Lorentz en la vecindad del punto dado (hasta una cierta aproximación). De hecho, la regla de transformación tensorial anterior puede generalizarse y debe generalizarse de $SO(3,1)$ a $GL(4,R)$ . Esto también es útil para escribir cómo se transforman los campos tensoriales bajo difeomorfismos generales, es decir, transformaciones de coordenadas no necesariamente lineales. Para las transformaciones de coordenadas generales, la definición de "tensor" es más restrictiva: por ejemplo, las derivadas parciales de los vectores ya no se transforman como tensores.

Con esta definición más restrictiva, la relatividad general dicta ecuaciones de campo que tienen la forma "el campo tensorial desaparece". Para una teoría dada, las ecuaciones de movimiento tienen la forma universal -por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell-Einstein, para ser específicos. La buena definición y la unicidad de las ecuaciones del movimiento es lo que entendemos por tener una única teoría. Sin embargo, una única teoría o un único conjunto de ecuaciones en física siempre tiene muchas soluciones. En la relatividad especial, se pueden producir nuevas soluciones (matemáticamente pero no físicamente nuevas) mediante transformaciones de Lorentz a partir de una dada; en la relatividad general, se pueden obtener nuevas soluciones (matemáticamente pero no físicamente nuevas) mediante cualquier difeomorfismo aplicado sobre una solución dada.

Los campos tensores se transforman covariantemente pero no son invariantes y dependen de la situación - de la forma del colector, etc. En cualquier caso, llegados a este punto, deberías entender por qué tu pregunta no tiene sentido. El fundamento matemático de "tal aplicación" es el álgebra lineal elemental, la geometría diferencial, la relatividad especial o la relatividad general, dependiendo de lo que preguntes exactamente. Sin embargo, no estás preguntando exactamente sobre nada, así que tu pregunta no puede ser respondida. Asegúrate de que no existe ninguna contradicción en la línea que aparentemente querías proponer en la redacción de tu pregunta.

Answer 2

Las ecuaciones tensoriales que mencionas no son invariante son covariante . Gran diferencia. Ambas son ecuaciones diferenciales, que se transforman linealmente bajo transformaciones no lineales de una variedad a otra porque son ecuaciones diferenciales en un punto . La transformación no lineal de una variedad a otra induce una transformación lineal del espacio tangente en cada punto de una de las variedades al espacio tangente en el punto correspondiente de la otra.

El tensor métrico $g_{\mu\nu}$ es lineal covariante bajo transformaciones. Dado que existe un tensor métrico en ambas variedades, y que una es la imagen de la otra bajo una difeomorfismo la distancia desde el punto $A$ para señalar $B$ por ejemplo, es invariante bajo esa transformación. En términos generales, un objeto tensorial es invariante cuando todos los índices se suman (normalmente bajo la Convención de suma de Einstein que esconde muchos teoremas de álgebra lineal en el formalismo).

Luboš publicó una respuesta más extensa mientras yo terminaba esto, así que considere esto como un contrapunto relativamente simple a eso.

Te sugiero que necesites un libro transversal decente de Matemáticas-Física que discuta los colectores y la geometría diferencial a un nivel intermedio, de los cuales hay varios. Yo he estado contento con Nakahara, http://www.amazon.com/Geometry-Topology-Physics-Graduate-Student/dp/0750306068 .

Answer 3

Esto depende de lo que se entienda por "pasar de un colector a otro". En la Relatividad General se considera generalmente una única variedad $\mathcal{M}$ y difeomorfismos $\phi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{M}$ . Creo que la idea a la que se quiere llegar es que si se considera una geometría en $\mathcal{M}$ , es decir, un par $(\mathcal{M} , g)$ donde $g$ es un campo métrico (un campo suave de 2 formas que no es degenerado y tiene la firma correcta) que satisface entonces las ecuaciones de campo de Einstein en $\mathcal{M}$ entonces la geometría, dada por $(\mathcal{M} , (\phi^{-1})^*g)$ , donde $(\phi^{-1})^*g$ es el pullback de $g$ a lo largo de la inversa de $\phi$ , también satisface las ecuaciones de campo de Einstein.

Este es el origen de la noción de que la RG tiene una "redundancia gauge" que es su invariancia bajo difeomorfismos activos y es bastante diferente (aunque relacionado con) el hecho de que las ecuaciones tensoriales de la RG son covariantes bajo transformaciones de coordenadas (es decir, cambiando de un gráfico de coordenadas a otro).

Sólo en el sentido anterior, cuando se "pasa de un colector a otro" la "métrica se conserva".