El mayor valor propio de una matriz semidefinida positiva es menor o igual que la suma de los valores propios de sus bloques diagonales.

Question

Esta pregunta es muy similar a éste .

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Sea

$$B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{12}' & B_{22} \end{bmatrix}$$

sea una matriz semidefinida positiva, donde bloque $B_{11}$ es $p \times p$ . Entonces

$$\lambda_1(B) \le \lambda_1(B_{11}) + \lambda_1(B_{22})$$

donde $\lambda_1$ es el mayor valor propio de la matriz en el argumento.

¿Cómo puedo demostrarlo utilizando la representación extrema del valor propio máximo de una matriz simétrica?

$$ \lambda_1(B) = \max_{||x||=1} x'Bx \\ = \max_{||x||=1} [x_1' x_2']\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{12}' & B_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \\ = \max_{||x||=1} [x_1' x_2']\begin{bmatrix} B_{11}x_1 + B_{12}x_2 \\ B_{12}'x_1 + B_{22}x_2\end{bmatrix} \\ = \max_{||x||=1} { x_1'B_{11}x_1 + x_1'B_{12}x_2 + x_2'B_{12}'x_1 + x_2'B_{22}x_2 } $$

Si $x_1'B_{12}x_2 + x_2'B_{12}'x_1 $ puede ir a cero entonces he terminado. Pero este no es el caso.

¿Dónde estoy cometiendo un error?

Answer 1

Escriba a $x=c_1u_1+c_2u_2$ con vectores unitarios $u_1$ y $u_2$ que son distintos de cero sólo en el primer y segundo bloque, respectivamente. Entonces

$$x'Bx=c'Ac$$

con

$$A=\pmatrix{u_1'Bu_1&u_1'Bu_2\\u_1'Bu_2&u_2'Bu_2}$$

simétrica y positiva (semi)definida. Dado que $u_1'Bu_1\le\lambda_1(B_{11})$ y $u_2'Bu_2\le\lambda_1(B_{22})$ tenemos $\operatorname{tr}A\le\lambda_1(B_{11})+\lambda_1(B_{22})$ . Dado que los valores propios de $A$ son no negativos, esto implica $\lambda_1(A)\le\lambda_1(A)+\lambda_2(A)=\operatorname{tr}A\le\lambda_1(B_{11})+\lambda_1(B_{22})$ . Dado que cualquier vector unitario $x$ puede escribirse en la forma anterior con $c$ un vector unitario, $x'Bx=c'Ac\le\lambda_1(B_{11})+\lambda_1(B_{22})$ para $x$ un vector unitario, por lo que

$$\lambda_1(B)=\max_{\lVert x\rVert=1}x'Bx\le\lambda_1(B_{11})+\lambda_1(B_{22})\;.$$