Límites parciales de secuencia

Question

Problema: Dado${a_n}$ y que 2008 y 2009 son límites parciales de${a_n}$. Además, para todos$n$,$|a_{n+1} - a_n| \le 1/2$. Probar que${a_n}$ tiene al menos 3 límites parciales.

Intenté demostrarlo usando la definición de los límites parciales de una secuencia y asumiendo que sólo hay dos límites parciales y muestro alguna contradicción, pero no llegué a ninguna parte.

Answer 1

2008 2009 Suena como una pregunta de la competencia de Putnam. (A menudo incluyen el año.)

De todos modos, debido a los límites parciales,$a_n$ es frecuentemente$<2008\frac14$ y con frecuencia$>2008\frac34$, por lo que debe estar frecuentemente en$\left[2008\frac14,2008\frac34\right]$ (por la desigualdad dada). Frecuentemente en un intervalo implica un límite en el cierre del intervalo.

Answer 2

Tome una larga convergencia a la de 2008, y una convergencia a la de 2009. Argumentan que se puede asumir que ellos no tienen términos en común, y de hecho, los términos en el primer larga están "muy cerca" de 2008, y los de la segunda están "muy cerca" de 2009 (si $b_n\to L$ $n$ grandes, $|b_n-L|<1/8$, y podemos limitarnos a grandes valores de $n$ en los dos subsecuencias).

Argumentan que se puede asumir que los índices de las secuencias alternativas. Esto significa que si $a_{n_1}, a_{n_2},\dots $ es la secuencia de la convergencia a la de 2008 y $a_{m_1},a_{m_2},\dots$ es la secuencia de la convergencia a la de 2009, luego podemos suponer que la $n_1<m_1<n_2<m_2<n_3<\dots$ (para esto, todo lo que usted necesita es "delgada" su subsecuencias).

Ok. Ahora argumentan que para todos los $i$, entre el $n_i$ $m_i$ hay algo de $k_i$ tanto $a_{k_i}-a_{n_i}$$a_{m_i}-a_{k_i}$$\ge1/4$. Es aquí que use ese $|a_{n+1}-a_n|\le1/2$ todos los $n$, tomando nota de que en 2008 y 2009 son: 1 unidad aparte, y $|a_{n_i}-2008|\le 1/8$$|a_{m_i}-2009|\le 1/8$.

Ahora, la secuencia de $(a_{k_i}\mid i=1,2,\dots)$ está completamente incluida en el intervalo de ${}[2008.25,2008.75]$, por lo que debe tener un convergentes larga, y esta larga deben converger en un lugar distinto de 2008 y 2009.

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Por otro lado, tenga en cuenta que usted puede llegar a la conclusión de que hay más de 3 "límites parciales", teniendo en cuenta la secuencia de $2008, 2008.5, 2009, 2008.5, 2008, 2008.5,\dots$

Answer 3

Su debe ser una secuencia monotónica de% natural $t_n$tal que$a_{t_n}$ no converge a 2008 ni a 2009, así que$a_{t_n}$ tiene que tener un límite parcial que difiera de 2008 o 2009. Pero esto Límite parcial es también un límite parcial de$a_n$. Vea: http://magmath.com/problems/math/partial-limits-sequence