Cada número $n\leq 10^{262}$ es interesante, una propiedad que garantiza una permutación de $\{1,2,\ldots, n\}$ tales que la suma de cualquier número adyacente es un número primo. Este límite inferior para una interesante cifra fue calculada por Charles.
Un número $n$ es muy interesante, si no es una permutación de $\{1,2,3,\ldots,n\}$ que se inicie o termine con $n$ y la suma de cualquier número adyacente es un número primo. Por ejemplo una permutación es llamado también muy interesante.
Teorema. Si $(p, p+2)$ es un primer par, a continuación, $p$ $p+1$ son siempre interesantes. Por otra parte, si $k\leq (p+1)/2$ es interesante, entonces $p+1-k$ es interesante.
Para el $p+1$ $p$ de los casos, el uso de la secuencia de $S_p=(a_n)_{n=1}^p$ definido por $a_{2k-1}=2k-1$$a_{2k}=p-(2k-1)$. La secuencia de $S_p$ siempre es interesante. Los resultados sólo pueden ser $p$ o $p+2$, y son los principales por hipótesis. Debido a $a_p=p$$a_1=1$, siempre podemos crear una nueva e interesante secuencia $S'$ de la longitud $p+1$. $\square$
Para demostrar que si $k\leq (p+1)/2$ interesantes, a continuación, $p+1-k$ es interesante, vamos a utilizar el siguiente algoritmo para crear una secuencia interesante de longitud $p-k+1$$S_p$. En primer lugar, tenga en cuenta que $a_{k}+a_{p+1-k}=p+1$.
Encontrar una secuencia $S'$ mediante la eliminación de los términos de $a_m$ $S_p$ tal que $m\leq k-1$ o $m\geq p-(k-1)$. El conjunto de borrado de números es la unión de los distintos conjuntos de $I_{k-1}=\{1,2,\ldots,k-1\}$$I_p\setminus I_{p-k+1}=\{p-(k-1)+1, p-(k-1)+2,\ldots, p\}$. Observe que $k$ es $a_{k}$ (si $k$ es impar) o $a_{p-k}$ (si $k$ es incluso). Construir una interesante secuencia $T_{k}$ de la longitud de la $k$ y conectar $T_k$$S'$$k$. La nueva secuencia es una permutación de $$I_k\cup\left(I_{p}\setminus\left(I_{k-1}\cup I_p\setminus I_{p-k+1}\right)\right)=I_{p-k+1}$$ and it is interesting because $p-k+1$ is at the other extreme of the sequence. $\square$
Aplicando el teorema un poco, vemos que debido a $1$, $2$, $3$, $4$ y $5$ son interesantes, a continuación, todos los $n\leq 18$ es interesante. Ahora podemos probar el siguiente
Lema. Si $k$ es interesante para cada $k\leq N$ y hay un primer par de $(p, p+2)$ tal que $p\leq 2N-1$, entonces cada $k\leq p+1$ es interesante.
Por el teorema principal, $p-k+1$ es interesante para cada $k\leq N$, por lo que los números $\left\{p+1-\frac{p+1}{2}, p+2-\frac{p+1}{2},\ldots, p\right\}$ son interesantes. Por hipótesis, $p\leq 2N-1$, lo $p+1-(p+1)/2\leq N$, por lo tanto cada $k\leq p+1$ es interesante.
Ahora que hemos establecido el marco teórico necesario, vamos a describir un algoritmo rápido para encontrar interesantes secuencias. Aplicar el razonamiento empleado para demostrar el teorema principal, vamos a construir una interesante secuencia de longitud $k$ $S_p$ usando otro interesante secuencia de longitud $p-n+1\leq (p+1)/2$ por los siguientes
El algoritmo.
Si $n$ es muy interesante, y hay al menos un primer gemelo $q\leq 2n-1$, vamos a $p$ ser el menor de dichos números primos. Escribir $S_p=(a_k)_1^p$ y construcción $S'$ mediante la eliminación de $a_m$ $m\leq p-n$ o $m\geq n$. Construir una interesante secuencia $T_{p-n+1}$ de la longitud de la $p-n+1$ y conectar $S'$$T_{p-n+1}$. Si $T_{p-n+1}$ todavía es demasiado grande para encontrar, repetir el algoritmo. El algoritmo termina cuando el número es lo suficientemente pequeño.
El algoritmo siempre debe terminar si el doble de los números primos respeto Bertrand postulado de $t\leq p$. Utilizando el algoritmo de una vez, hemos construido una implicación $p-n+1\to n$. Si hay por lo menos un doble prime $q\leq 2(p-n+1)-1$, el algoritmo se ejecutará nuevamente para la construcción de $q-(p-n+1)+1\to p-n+1$ y así sucesivamente. Esto es estrictamente decreciente, de manera que el algoritmo debe parar en el peor de los casos en $n$ pasos.
En la práctica, esto es bastante rápido para moderadamente grandes números. Por ejemplo, tomar al azar el número de $n=28437$ y aplicar el algoritmo.
Al menos el primer gemelo $\geq 28437$$p=28547$, por lo que debemos escribir $S_{28547}$ y encontrar una interesante secuencia de longitud $28547-28437+1=111$. Para encontrarlo, iterar el algoritmo, usando $n_2=111$. El próximo primer gemelo es $p_2=137$, de modo que anote $S_{137}$ y la construcción de una secuencia de longitud $137-111+1=27$. El próximo primer gemelo es $29$, por lo que nuestra vida es fácil ahora. Anote $S_{29}$ y encontrar una interesante secuencia $T_{27}$. Anote $S_{137}$ y encontrar$T_{111}$$T_{27}$. Acabado el algoritmo por escrito las $S_{28547}$ y la búsqueda de $T_{28437}$.
En tres algoritmo de aplicaciones, hemos encontrado una interesante secuencia $T_{28437}$. Esta es la manera mejor que una aproximación de fuerza bruta.
Estamos ahora en posición para comenzar los cálculos. Tenemos todos los $k\leq 18$ es interesante. Junto con el primer par de $(29, 31)$, sabemos que cada $k\leq 30$ es muy interesante, por el lema. Por iteración, utilizando para este primer gemelos mesa y una calculadora, $n$ es siempre interesante para $n\leq 18\times 10^6$ y, probablemente, para números más grandes.
El seguro vinculado fortalecido por chubakueno a ser $\geq 8825318188022112$ $\approx 8,8\times 10^{15}$. El mejor límite inferior hasta el momento es de una convulsa $10^{165}$, que se encuentra por Charles aquí.
El gemelo primer conjetura por sí sola no es suficiente para probar la existencia de cada número es muy interesante, pero sería suficiente que el primer gemelos respeto Bertrand postulado. Siempre hay un primer par de $\lt 2n$, siempre podemos ampliar los resultados.
Resulta que el análisis que se hace aquí no es nuevo: puedo fecha de estos teoremas tan lejos como $2000$ aquí (sin pruebas rigurosas, sin embargo). Este es un problema abierto desde finales de los años setenta, por lo que estos teoremas elementales son probablemente mucho mayores. Hay poca esperanza de que estos métodos pueden conducir a una real prueba de forma independiente de la distribución de los números primos gemelos: los intentos hechos para combinar los números primos $p$ $p+2k$ a forma interesante cadenas han sido infructuosas.
