Espacio regular pero no normal

Question

Esta fue una cuestión de examen de la nuestra:

Sea$\chi$ el conjunto,$\chi = \left \{ a, b, c, d \right \}$. Cree una topología$\tau$ on$\chi$ para que$\left ( \chi ,\tau \right )$ sea normal pero no normal.

No pude resolver la pregunta, pero me pregunto cuál es la respuesta. ¿Es posible? Puede alguien ayudarme con esto?

Answer 1

Supongamos que$\chi$ es un espacio regular. Supongamos que$A,B$ son conjuntos disjuntos cerrados. Si uno de ellos es un singleton, entonces la regularidad implica que pueden ser separados por conjuntos abiertos. De lo contrario, puesto que los conjuntos son disjuntos, entonces cada uno de ellos es de tamaño 2.

Si este es el caso, entonces$A= \chi - B$ está abierto como complemento de un conjunto de cierre así que$A,B$ están abiertos y puede separar A de B, por lo tanto$\chi$ es normal.

Answer 2

No, no es posible. Por ejemplo, ver el libro Topology de Munkres, p 200:

Teorema 32.1 Todo espacio regular con una base contable es normal.

Answer 3

En el caso de espacios topológicos finitos, la regularidad y la normalidad son equivalentes.