Límite como$x$ se aproxima$1$ desde el derecho de$\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}$

Question

$$ \ lim_ {x \ rightarrow 1 ^ } \; \ frac {1} {\ ln x} - \ frac {1} {x-1} $$

Así que me gustaría saber cómo empezar a resolver este límite, o qué tema se encuentra este problema para poder buscar ejemplos en línea o en texto.

Sé que la respuesta es 1/2 y he intentado tapar en números más pequeños o más grandes que uno pero como asumí que era la manera incorrecta de ir.

Answer 1

No hay necesidad de restringir el derecho de limitar. Por cambio de variable $u=x-1$, esto es $$ \lim_{u\rightarrow 0}\;\frac{1}{\ln (1+u)}-\frac{1}{u}=\lim_{u\rightarrow 0}\;\frac{u\ln (1+u)}{u\ln(1+u)}. $$

1) L'Hospital: si podemos diferenciar una vez que la parte superior e inferior, obtenemos $$ \frac{u}{(1+u)\ln(1+u)+u}. $$ Una vez más, nos encontramos con $$ \frac{1}{\ln(1+u)+2}\longrightarrow \frac{1}{2}. $$ Por lo que el limite inicial es, de hecho, $\frac{1}{2}$ por una doble aplicación de L'Hospital.

2) Taylor: podemos usar ese $\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+O(u^3)$. Entonces $$ \frac{u-\ln(1+u)}{u\ln(1+u)}=\frac{\frac{u^2}{2}+O(u^3)}{u^2+O(u^3)}=\frac{\frac{1}{2}+O(u)}{1+O(u)}\longrightarrow \frac{1}{2}. $$

Answer 2

Con atención a la regla de hopital tenemos: $ \ lim_ {x \ to1 ^ } \ frac {x-1- \ ln x} {(x-1) \ ln x} = \ lim_ {x \ \ Frac {1 \ {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}} { X {2}} {\ frac {1} {x} \ frac {1} {x ^ 2}} = \ frac {1} {2} $$

Answer 3

Generalmente es más fácil evaluar estos problemas si puede expresar el límite como una fracción. En este caso, tenemos $$ \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1} = \frac{x-1-\ln x}{\ln x(x-1)}. $$ La aplicación de la regla de L'Hospital, hemos $$ \lim_{x\1^+} \frac{1-\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}(x-1) + \ln x}. $$ Todavía tenemos un límite de la forma $\frac{0}{0}$, así que de nuevo aplicar la regla de nuevo, y obtener $$ \lim_{x\1^+}\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{-1}{x^2}(x-1) + \frac{1}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x\1^+} \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2}. $$

Answer 4

Puedes aplicar la regla de l'Hôpital dos veces:$$ \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{x-1-\ln x}{\ln x(x-1)} = \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{1-1/x}{1/x(x-1)+\ln x} = \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{x-1}{x-1+x\ln x} = \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{1}{1+\ln x +1} = \frac{1}{2}.$ $

Answer 5

Si necesitas algo de diversión , puedes resolver esto:

ps

tenemos

ps