¿Qué significa la notación de suma$\lim_{n\to\infty} \sum_{j=n}^\infty a_j$?

Question

¿Qué significa la notación de suma$$\lim_{n\to\infty} \sum_{j=n}^\infty a_j$ $?

¿Está el$n$ fijo o no?

Answer 1

Es el límite de la secuencia

$$\sum_{j=1}^\infty a_j,\; \sum_{j=2}^\infty a_j,\; \sum_{j=3}^\infty a_j,\; \sum_{j=4}^\infty a_j,\; \sum_{j=5}^\infty a_j,\; \cdots $$

Mi primera idea sería, si $\sum_{j=1}^\infty a_j$ existe, entonces su respuesta tiene que ser $0$.

Por ejemplo $$\lim_{n\to\infty} \sum_{j=n}^\infty \frac{1}{2^j} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{2^n} = 0 $$

TEOREMA. Si $\sum_{j=1}^\infty a_j$ existe, entonces $\lim_{n\to\infty} \sum_{j=n}^\infty a_j = 0$

PRUEBA. Para mayor comodidad, vamos a $\sum_{j=1}^\infty a_j = L$. Entonces, ya que el límite existe,

$L = \sum_{j=1}^{n-1} a_j + \sum_{j=n}^\infty a_j$

Ahora vamos a $n \to \infty$. A continuación, $L = L + \lim_{n\to\infty}\sum_{j=n}^\infty a_j$

Por lo $\lim_{n\to\infty}\sum_{j=n}^\infty a_j = 0$.

Answer 2

Lo interpretaría como$$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} \sum_{j = n}^m a_j$ $

Dentro de los dos límites, tanto$n$ como$m$ son fijos. A continuación, tome los dos límites de la expresión encontrada.

Por ejemplo, llegará a una expresión como$\sum_{j = n}^m a_j = \frac 1m + \frac {2n^2 + 1}{4n^2} - 1$ (observe cómo depende sólo de$n$ y$m$).

Entonces usted toma ambos límites para encontrar el resultado (en este caso$-1/2$)