Cómo expresar $\tan kx$ en función de $\tan x$ ?

Question

Tenía un problema que expresar $\tan kx$ en función de $\tan x$ . Por ejemplo, $\tan 3x=(3 \tan x\tan^ 3x)/(13\tan^2x)$ . Pero en el caso general, cómo puedo expresar por ejemplo $\tan 10x$ como poderes de $\tan x$ ?

Vi un método Chebyshev de http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm pero ¿cómo funciona esto en la práctica?

Answer 1

$kx$ es el argumento de $(1+i \tan x)^k$ Así que para conseguir $\tan kx$ puedes calcular las partes real e imaginaria de eso usando el teorema del binomio y dividir:

$$ \tan kx = \frac{\sum_{n=0}^{\lceil k/2 \rceil-1} \binom{k}{2n+1}(-1)^n \tan^{2n+1}x }{\sum_{n=0}^{\lfloor k/2\rfloor} \binom{k}{2n}(-1)^n\tan^{2n}x} $$

Answer 2

También existe la relación de recurrencia: $$ \tan\,((n{+}1)\theta) = \frac{\tan (n\theta) + \tan \theta}{1 - \tan (n\theta)\,\tan \theta} $$ lo que implica que $\tan n \theta$ es una función racional de $\tan \theta$ con coeficientes enteros.