He aquí una posible interpretación de lo que él quiso decir: todo continuo, con un valor real de la función en un intervalo se puede aproximar así como al continuo, ni de funciones monótonas. En otras palabras, estas funciones son densos.
En más detalle, considere el espacio de $C([0,1])$ (por ejemplo) de funciones continuas $[0,1]\to\mathbb R$. Para hablar de la nada monótona de las funciones denso, el espacio de $C([0,1])$ necesita tener algún tipo de topología, o mejor aún, una métrica. Dado $f,g\in C([0,1])$, dicen que la distancia $d(f,g)$ $f$ $g$ es
$$
d(f,g) = \sup_{t\in[0,1]} \big|f(t) - g(t)\big|.
$$
(Esta es una métrica!)
Teorema: Bajo esta métrica, el espacio de continuo, en ningún funciones monótonas es un subespacio denso de $C([0,1])$.
En otras palabras, no se puede aproximar funciones continuas en el intervalo de la nada monótono funciones:
si me puede dar algún aleatoria continua la función $f:[0,1]\to\mathbb R$, y un poco de tolerancia $\varepsilon>0$, puedo encontrar un lugar monótona de la función $g:[0,1]\to\mathbb R$ tal que $|f(t)-g(t)|<\varepsilon$ todos los $t\in[0,1]$.
Este teorema tiene una fácil prueba de uso de la Categoría de Baire Teorema. Su profesor, probablemente le puede dar, o uno de nosotros a MSE puede, si lo desea.
Densidad es sólo una noción de un comportamiento "promedio", y no siempre es la mejor. Por ejemplo, los racionales son densos subconjunto de los reales, aunque los "media" número real es irracional. Varias otras respuestas dar alternativa a las nociones de la media.
