Encuentra el resto al dividir $9^{{10}^{{11}^{12}}}-5^{9^{10^{11}}}$ por $13$.

Question

Encuentra el resto al dividir $$9^{{10}^{{11}^{12}}}-5^{9^{10^{11}}} \hspace{1cm} \text{por} \hspace{1.2cm} 13.$$

Intenté transformar estos números por separado para formar $13k+n$ pero fracasé.

Answer 1

$$\large 9^3\equiv1\implies 9^{\color{Blue}{10}^{11^{12}}\color{Blue}{\bmod\; 3}}\equiv9^{\color{Blue}1^{11^{12}}}\equiv 9 \mod 13 $$

$$\large 5^4\equiv1\implies 5^{\color{Red}9^{10^{11}}\color{Red}{\bmod\; 4}}\equiv 5^{\color{Red}1^{10^{11}}}\equiv 5 \mod 13$$

$$\large \therefore\quad 9^{10^{11^{12}}}-5^{9^{10^{11}}}\equiv9-5\equiv4\mod13 $$

$$\large 9^3\equiv1\implies 9^{\color{Blue}{10}^{11^{12}}\color{Blue}{\bmod\; 3}}\equiv9^{\color{Blue}1^{11^{12}}}\equiv 9 \mod 13 $$

$$\large 5^4\equiv1\implies 5^{\color{Red}9^{10^{11}}\color{Red}{\bmod\; 4}}\equiv 5^{\color{Red}1^{10^{11}}}\equiv 5 \mod 13$$

$$\large \therefore\quad 9^{10^{11^{12}}}-5^{9^{10^{11}}}\equiv9-5\equiv4\mod13 $$

$$\large 9^3\equiv1\implies 9^{\color{Blue}{10}^{11^{12}}\color{Blue}{\bmod\; 3}}\equiv9^{\color{Blue}1^{11^{12}}}\equiv 9 \mod 13 $$

$$\large 5^4\equiv1\implies 5^{\color{Red}9^{10^{11}}\color{Red}{\bmod\; 4}}\equiv 5^{\color{Red}1^{10^{11}}}\equiv 5 \mod 13$$

$$\large \therefore\quad 9^{10^{11^{12}}}-5^{9^{10^{11}}}\equiv9-5\equiv4\mod13 $$

Answer 2

Escribe este número como $9^N-5^M$.

Dado que $3^3=1\pmod{13}$, $9^3=1\pmod{13}$. Dado que $10=1\pmod{3}$ y $N$ es una potencia de $10$, $N=1\pmod{3}$. Por lo tanto, $9^N=9\pmod{13}$.

Dado que $5^2=-1\pmod{13}$, $5^4=1\pmod{13}$. Dado que $9=1\pmod{4}$ y $M$ es una potencia de $9$, $M=1\pmod{4}$. Por lo tanto, $5^M=5\pmod{13}.

Finalmente, $9^N-5^M=9-5=4\pmod{13}$.

Answer 3

Consejo: poner $\rm A,B = 3,5\:$ en $\rm\ A^3 \equiv 1,\ B^2\equiv -1\ \Rightarrow\ A^{2\:(1+3m)^{J}}\! - B^{\:(1+4n)^K} \equiv A^{2\cdot 1^J}\!-B^{\:1^K}\equiv\: A^2 - B$

Nota $\:$ La competencia proviene del dominio de tal aritmética de congruencia de exponentes, es decir.

$$\rm A^N\equiv 1\ \Rightarrow\ A^K\equiv A^{(K\ mod\ N)} $$

Prueba $\:$ Por el Algoritmo de la División $\rm\ K = R + N\:Q,\ $ para $\rm\ R = (K\ mod\ N),\:$ por lo tanto

$$\rm A^K \equiv\ A^{R+NQ}\equiv A^R (A^N)^Q\equiv A^R 1^Q \equiv A^R\equiv A^{(K\ mod\ N)}$$