Sea$X$ un espacio métrico finito, entonces es cierto que$\exists n \in \mathbb N$ tal que existe una isometría de$X$ en$\mathbb R^n$, donde$\mathbb R^n$ está equipado con La métrica suprema?
Respuesta
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Sí, si $X$ tiene cardinalidad $n$ no es una simple integración en $(\mathbb R^n,\|\cdot\|_\infty)$: denotar por $x_1,\ldots, x_n$ de los puntos en $X$, y definir $f:X\to \mathbb R^n$ $$\left(f(x_i)\right)_j:=d(x_i,x_j)$$ donde el exterior $j$ denota la coordenada en $\mathbb R^n$. Es un ejercicio para comprobar que esta es una isometría. De hecho, hay una incrustación en $\mathbb R^{n-1}$ sólo en la traducción de uno de los puntos a la de origen.
EDITAR voy a agregar para quien pudiera estar interesado un buen generalización que yo ni siquiera creo que la primera vez que oí hablar de él: cada espacio métrico separable $X$ incrusta isométricamente en $\ell_\infty$.
Fijar un punto de base $z\in X$ y un contable denso conjunto de $\{x_i\}_{i\in \mathbb N}$. A continuación, la incorporación está dada por $$x\mapsto (d(x,x_i)-d(z,x_i))_{i\in \mathbb N}.$$ Observar que es continua y es una isometría cuando se limita a la densa set $\{x_i\}_{i\in \mathbb N}$.
