Integral $ \int\limits_{-\infty}^\infty \exp \left[-\frac{(x-x_o)^2}{2 \sigma_x^2}-i (p - p_0) \frac{x}{\hbar}\right] \, dx $ Resultado: Integral $ \int\limits_{-\infty}^\infty \exp \left[-\fra

Question

¿Puede alguien mostrarme cómo calcular esta integral?

$$ \int\limits_{-\infty}^\infty \exp \left[-\frac{(x-x_o)^2}{2 \sigma_x^2}-i (p - p_0) \frac{x}{\hbar}\right] \, dx $$

$x_0$, $p_0$, $\hbar$ son constantes y $\sigma_x$ es una desviación estándar de la Gaussiana que estamos integrando aquí. Alguien me dijo que debería completar el cuadrado.

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EDITAR: Gracias @Michael Hardy por una excelente explicación. Continué tu cálculo y obtuve esto:

$$ \begin{split} &\phantom{=}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-w^2} \cdot \underbrace{\exp \, -\left\{2x_o\dfrac{\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar} - \left( \frac{\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar} \right)^2 \right\}}_{constante}\, \mathrm{d} w =\\ &= \sqrt{\pi} \exp \, \left\{- 2x_o\dfrac{\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar} + \left( \frac{\sigma_x^2 \cdot i (p-p_0)}{\hbar} \right)^2 \right\} \end{split} $$

Para obtener este resultado utilicé integral gaussiana. Lo que esperaba obtener era el resultado en la imagen de abajo, pero mi resultado es algo diferente. ¿Por qué sería eso? ¿Estuvo mal mi integración? En la imagen hay algunas constantes antes de la integral que no tienen ningún papel significativo aquí.

¿Podría alguien explicar cómo el autor de la integral en la imagen obtiene el resultado que obtiene?

Answer 1

Completa el cuadrado, de la siguiente manera:

\begin{align} \frac{(x-x_o)^2}{2 \sigma_x^2}+i (p - p_0) \frac{x}{\hbar} & = \frac{\hbar (x-x_o)^2 + 2\sigma_x^2 i (p-p_0)x}{2\sigma_x^2 \hbar} \\[8pt] & = \frac{(x^2 - 2x_ox + x_o^2) + \dfrac{2\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar}x}{2\sigma_x^2} \end{align}

A continuación, trabaja en el numerador: \begin{align} & \phantom{{}=} (x^2 - 2x_ox + x_o^2) + \dfrac{2\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar}x \\[8pt] & = x^2 + \left(- 2x_o + \dfrac{2\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar}\right)x + x_o \\[8pt] & = \left[x^2 + \left(- 2x_o + \dfrac{2\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar}\right)x + \left(-x_o + \dfrac{\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar}\right)^2\right] + x_o^2 - \left(-x_o + \frac{\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar}\right)^2 \\[8pt] & = \left[x + \left(-x_o + \dfrac{\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar}\right)\right]^2 + \underbrace{2x_o\dfrac{\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar} - \left( \frac{\sigma_x^2 i (p-p_0)}{\hbar} \right)^2}_\text{constante} \\ & = w^2 + \text{constante}. \end{align} La palabra "constante" en este contexto significa que no depende de $x$.

La variable $w$ es la expresión entre corchetes.

Finalmente necesitas esto: $dw=dx$.

Mira la integral nuevamente después de esta sustitución.

Answer 2

Completa los cuadrados y utiliza la fórmula $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx = \sqrt \frac{\pi}{\alpha}$ para $\alpha>0$. Aquí puedes encontrar una buena derivación de esta fórmula: http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/ExpIntegrals.htm.