Una integral difícil sobre la función$\ln x$ y$\ln\ln x$

Question

Hace unos días, me encontré con un integrante difícil$$\int_0^1 {\left( {1 + \ln x} \right)\ln \left( {1 + x} \right)\ln \ln \frac{1}{x} \,{\rm{d}} x} .$ $ Consideré$$\int_0^1 {{x^n}\ln \ln \frac{1}{x}\,{\rm{d}} x} = \int_0^\infty {{e^{ - \left( {n + 1} \right)x}}\ln x\,{\rm{d}} x} = - \frac{{\gamma + \ln \left( {n + 1} \right)}}{{n + 1}}.$ $ ¡Pero no tengo idea de continuarlo! ¿Podría mostrarme cómo calcularlo?

Answer 1

Para reemplazar$x$ con$e^{-t}$ es una buena idea incluso en el primer lugar. Eso conduce a:

$$ I = \int_{0}^{+\infty}e^{-t}(1-t)\log(1+e^{-t})\log t\,dt\tag{1}$ $ Pero como:$$ \int_{0}^{+\infty}e^{-(n+1)t}(1-t)\log t\,dt = -\frac{1}{(n+1)^2}\left(1+n\gamma+n\log (n+1)\right)\tag{2}$ $ tenemos:

$$ I = \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n(n+1)^2}\left(1+n\gamma+n\log (n+1)\right)\tag{3}$ $ So :$$ I = 2-2\log 2-\gamma-\zeta(2)\left(\frac{1}{2}+\log\sqrt{4\pi}\right)+\pi^2\log A\tag{4}$ $ donde$A$ es la constante Glaisher-Kinkelin .