El grupo fundamental de un producto es el producto de los grupos fundamentales de los factores

Question

Hola :) quiero demostrar la siguiente afirmación:

• $\pi_1(X\times Y,(x_0,y_0))\equiv\pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0)$

Pero, ¿cómo hacerlo? ¿Es sólo la proyección y el uso de la topología del producto? Gracias por la ayuda :)

También quiero demostrar que el grupo fundamental de una n-esfera es trivial para $n>1$ pero no tengo ni idea. Desde mi punto de vista la homotopía es muy difícil...

Answer 1

Un bucle $\alpha$ en $X\times Y$ es un mapa continuo $\ \alpha:S^1\to X\times Y$ .

Si $\ s\in S^1$ podemos escribir $\alpha(s) = (\alpha_x(s),\alpha_y(s))$ . Por teorema, $\alpha$ es continua si y sólo si ambas componentes $\alpha_x:S^1\to X$ y $\alpha_y:S^1\to Y$ son continuos (esto se aplica a todos los mapas $A\to X\times Y$ . Aquí, $A=S^1$ ). Por lo tanto, tenemos una biyección entre los bucles $\alpha$ en $X\times Y$ y pares de bucles $(\alpha_x,\alpha_y)$ con $\alpha_x$ un bucle en $X$ y $\alpha_y$ un bucle en $Y$ . Si $\ p_x:X\times Y \to X$ y $p_y:X\times Y\to Y$ son las proyecciones, esta biyección viene dada por $\alpha \mapsto (p_x\circ \alpha,p_y\circ \alpha)$ .

Si $s_0\in S^1$ un mapa $\ \ f:S^1\times I\to X\times Y$ , $\ \ \ (s,t)\mapsto (f_x(s,t),f_y(s,t))$ es una homotopía relativa a $\{s_0\}$ si y sólo si ambos componentes $f_x$ y $f_y$ son homotopías rel $\{s_0\}$ . Así, los bucles $\alpha$ y $\beta$ en $X\times Y$ en $s_0$ son homotópicas si y sólo si sus proyecciones a $X$ y a $Y$ son homotópicas - $\alpha \simeq \beta$ si $\ \ p_x\circ \alpha \simeq p_x\circ \beta$ y $p_y\circ\alpha \simeq p_y\circ\beta$ .

Así, nuestra biyección de bucles induce una biyección $\pi_1(X\times Y) \to \pi_1(X)\times \pi_1(Y)$ dados por los homomorfismos inducidos por las proyecciones: $[\alpha]\mapsto ([p_x \circ \alpha],[p_y \circ \alpha])$ . Dado que los mapas inducidos por las proyecciones son homomorfismos, la biyección es un homomorfismo (hecho simple sobre los homomorfismos en grupos producto), y por tanto un isomorfismo.

Answer 2

La prueba de Owen para la primera pregunta es correcta. Por supuesto que van Kampen funciona para la segunda pregunta, pero es un poco exagerado. Yo preferiría lo siguiente: $\pi_1(S^n)=0$ si y sólo si cada bucle basado en $p$ es contraíble a través de bucles basados en $p$ . Dada una trayectoria arbitraria basada en $p$ podemos encontrar fácilmente una contracción proyectando estereográficamente (desde un punto no situado en la trayectoria) a $\mathbb R^n$ contratándolo en $\mathbb R^n$ y componiendo la contracción con la inversa de la proyección estereográfica.

Answer 3

Supongo que es más elegante demostrar la segunda pregunta utilizando el teorema de van Kampen. Elija $ U = S^n - P $ y $V= S^n - N $ , donde $P$ es el polo sur y $N$ es el polo norte. Como $n$ es mayor que 1, la intersección $U\cap V $ está conectado. Entonces, aplicando el teorema de van Kampen, ya que $U$ y $V$ son espacios contráctiles, se obtiene que $ S^n $ tiene grupo fundamental trivial.