¿Qué error es mi "prueba" de que el conjunto de todos los subconjuntos de R con lebesgue medida 1 tiene un elemento máximo?

Question

Me disculpo de antemano si el error es trivial. Pero simplemente estoy viendo. Debo de haber entendido algo a lo largo del camino. La idea de la siguiente manera:

Deje $K = \{E \subset \mathbb{R} | m(E) = 1\}$, donde m es la medida de Lebesgue.

Ahora, vamos a definir el orden siguiente en $K$. Decimos que $A < B$ fib $B \subseteq A$. Obviamente este es un orden parcial.

Ahora, vamos a $(A_i)$ ser cualquier cadena. (es decir,$A_i < A_{i+1}$)

Deje $A = \bigcap A_i$. Claramente $A > A_i$ todos los $i$.

También se $A_i \searrow A$, e $m(A_i) < \infty$ para todo i. A continuación, aplicar un Corolario tenemos que

$m(A) = \lim_{n\rightarrow \infty} m(A_i) = 1$, y por lo tanto $A \in K$

Por lo tanto, cada cadena en $K$ tiene un límite superior en $K$.

Usando el Lema de Zorn, llegamos a la conclusión de que $K$ tiene un elemento maximal. Pero esta conclusión parece absolutamente absurdo a mí. De hecho, tomar cualquier candidato $X$ a de ser un elemento maximal. Claramente $X$ es no vacío. Deje $x \in X$. Ahora$X - \{x\} \in K$$X < X - \{x\}$.

Creo que mi error es que, para ser capaz de utilizar el corolario, es necesario que el $A$ ser medibles.

Lo que salió mal aquí?

Muchas gracias!

Answer 1

Sí, ese es el problema. Las cadenas no son contables, así que no hay ninguna razón para $A$ para ser medible. El corolario también requiere una intersección contable (y no arbitraria).

Answer 2

Una "cadena" es cualquier subconjunto totalmente ordenado de $K$. No tiene que ser una secuencia indexada por los números naturales; sería incontable. Así que no puede afirmar que $m(A) = \lim_{i\rightarrow \infty} m(A_i) = 1$, ya que no necesariamente tienen una secuencia en todo.