¿Cuántos números de cuatro cifras divisibles por 29 tiene la suma de sus dígitos 29?

Question

¿Cuántos números de cuatro cifras divisibles por $29$ tiene la suma de su dígitos $29$?

Una manera de hacerlo sería escribir $1000a+100b+10c+d=29m$ y $a+b+c+d=29$ y, a continuación, las ecuaciones de la forma como $14a+13b+10c+d=29m'$ y $4a + 3b – 9d = 29 (m'' – 9)$. Análisis de esta ecuación para soluciones de enteros usando la ventaja que tenemos $\to$ $29$ es una privilegiada; le dará las soluciones, pero es tedioso trabajo.

¿Hay soluciones mejores?

Answer 1

Si la suma de los dígitos de $n$$29$, entonces el número de $n$ debe ser congruente a $2$ (modulo $9$). Desde $29$ $9$ son relativamente primos, y su producto es $261$, sólo necesitamos considerar los números congruentes a $29$ (modulo $261$). Hay solamente cerca de tres docenas de candidatos entre el$1000$$9999$.

Además, el promedio de los dígitos es $\frac{29}4>7$; ningún dígito puede ser $1$, y sólo un dígito puede estar por debajo de $6$. Eso significa que podemos comenzar nuestra búsqueda a $2999$; el primer candidato es $3161$, desechar fácilmente, y acabamos de añadir repetidamente $261$ hasta llegar por encima de $9999$.

Answer 2

$4 \times 9 = 36$, y nosotros debemos terminar con $29$ como una suma.

Hay $7 \choose 4$ formas de reducir la suma de 36 a 29 en 4 dígitos.

Aburrido = 35 casos.

Answer 3

$(un = 4\land b = 9\land c = 8\land d = 8\land m = 172) \lor (un = 7\land b = 5\land c = 9\land d = 8\land m = 262) \lor (un = 7\land b = 8\land c = 5\land d = 9\land m = 271) \lor (un = 9\land b = 6\land c = 8\land d = 6\land m = 334) \lor (un = 9\land b = 9\land c = 4\land d = 7\land m = 343) $

Números hasta 5 $4988,7598,7859,9686,9947$.