$a+b+c+d+e=79$ con restricciones

Question

¿Cuántas soluciones entero no negativo son hay $a+b+c+d+e=79$ % restricciones $a\ge7$, $b\le34$ y $3\le c\le41$?

Me sale que para $a\ge7$ $79-7=72$, $\binom{72+5-1}{5-1}=\binom{76}4$ hacer. $b\ge35$ creo que es $\binom{47}4$ y no estoy muy seguro de lo que es $3\le c\le41$ y también no tengo ninguna idea de cómo hacerlo todo al mismo tiempo.

Answer 1

Aquí hay una respuesta basada en la generación de funciones.

• $a\geq 7$ puede ser codificado como \begin{align*} z^7+z^8+z^9+\cdots=z^7\left(1+z+z^2+\cdots\right)=\frac{z^7}{1-z}\tag{1} \end{align*}

• $b\leq 34$ puede ser codificado como \begin{align*} 1+z+z^2+\cdots+z^{34}=\frac{1-z^{35}}{1-z}\tag{2} \end{align*}

• $3\leq c\leq 41$ puede ser codificado como \begin{align*} z^3+z^4+\cdots+z^{41}=z^3\left(1+z+z^2+\cdots+z^{38}\right)=\frac{z^3\left(1-z^{39}\right)}{1-z}\tag{3} \end{align*}

• $d,e\geq 0$ puede ser codificado como \begin{align*} 1+z+z^2+\cdots=\frac{1}{1-z}\tag{4} \end{align*}

Queremos encontrar el número de entero no negativo, las soluciones de \begin{align*} a+b+c+d+e=79 \end{align*} con las restricciones descritas anteriormente.

Denotando con $[z^n]$ el coeficiente de $z^n$ estamos buscando \begin{align*} [z^{79}]&\frac{z^7}{1-z}\cdot\frac{1-z^{35}}{1-z}\cdot \frac{z^3\left(1-z^{39}\right)}{1-z}\cdot \left(\frac{1}{1-z}\right)^2\tag{5}\\ &=[z^{79}]z^{10}\frac{(1-z^{35})(1-z^{39})}{(1-z)^5}\\ &=[z^{69}]\frac{(1-z^{35})(1-z^{39})}{(1-z)^5}\tag{6}\\ &=[z^{69}]\left(1-z^{35}-z^{39}\right)\sum_{k=0}^\infty\binom{-5}{k}(-z)^k\tag{7}\\ &=\left([z^{69}]-[z^{34}]-[z^{30}]\right)\sum_{k=0}^\infty\binom{k+4}{4}z^k\tag{8}\\ &=\binom{73}{4}-\binom{38}{4}-\binom{34}{4}\tag{9}\\ &=1088430-73815-46376\\ &=968239 \end{align*}

de acuerdo con la respuesta de @CYKwong.

Comentario:

• En (5) se selecciona el coeficiente de $[z^{79}]$ del producto de las funciones de generación (1) a (4) que corresponden a los intervalos válidos especificados para $a$$e$.

• En (6) aplicamos la regla de $[z^{p-q}]A(z)=[z^p]z^qA(z)$.

• En (7), multiplicamos el numerador y omitir términos con potencias mayores de $69$ ya que no contribuyen a $[z^{69}]$. También podemos aplicar el binomio de expansión de la serie.

• En (8), usamos la linealidad del coeficiente de operador, aplicar la misma regla, como en (6) tres veces y usar el binomio identidad $\binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{p-1}(-1)^q$.

• En (9) seleccionamos los coeficientes en consecuencia.

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\sum_{m=k}^{n}\binom{m}{k}=\binom{n+1}{k+1}$$

Es el número de soluciones de la ecuación de $d+e=79-a-b-c$

$$\begin{cases}\displaystyle \binom{79-a-b-c+1}{1}=\binom{80-a-b-c}{1}, &\text{if }a\le79-b-c \\[0.2cm] 0,&\text{otherwise}\end{cases} $$

El número de soluciones de la ecuación $a+d+e=79-b-c$ tal es que $a\ge7$

$$\begin{cases} \displaystyle\sum_{a=7}^{79-b-c}\binom{80-a-b-c}{1}=\displaystyle\sum_{m=1}^{73-b-c}\binom{m}{1}=\binom{74-b-c}{2}, &\text{if }b\le 72-c \\[0.2cm] 0,&\text{otherwise}\end{cases} $$

El número de soluciones de la ecuación $a+b+d+e=79-c$ tal que $a\ge7$ $b\le34$ es

\begin{align*} &\;\begin{cases} \displaystyle\sum_{b=0}^{72-c}\binom{74-b-c}{2}=\sum_{m=2}^{74-c}\binom{m}{2}=\binom{75-c}{3}, &\text{if }39\le c\le 41 \\[0.2cm]\displaystyle\sum_{b=0}^{34}\binom{74-b-c}{2}=\sum_{m=40-c}^{74-c}\binom{m}{2}, &\text{if }c\le 38 \\[0.2cm] 0,&\text{otherwise}\end{casos} \\ = & \;\begin{cases} \displaystyle\binom{75-c}{3}, &\text{if }39\le c\le 41 \\[0.2cm] \displaystyle \sum_{m=2}^{74-c}\binom{m}{2}-\sum_{m=2}^{39-c}\binom{m}{2} =\binom{75-c}{3}-\binom{40-c}{3}, &\text{if }c\le 37\\[0.2cm] \displaystyle \sum_{m=2}^{36}\binom{m}{2}=\binom{37}{3}, &\text{if }c= 38 \\[0.2cm] 0,&\text{otherwise}\end{cases} \end{align*}

El número de soluciones de la ecuación $a+b+c+d+e=79$ tal que el $a\ge7$ y $b\le34$ $3\le x\le41$ es

\begin{align*} &\;\sum_{c=3}^{37}\left[\binom{75-c}{3}-\binom{40-c}{3}\right]+\binom{37}{3}+\sum_{c=39}^{41}\binom{75-c}{3}\\ =&\;\sum_{m=38}^{72}\binom{m}{3}-\sum_{m=3}^{37}\binom{m}{3}+\binom{37}{3}+\binom{36}{3}+\binom{35}{3}+\binom{34}{3}\\ =&\;\sum_{m=3}^{72}\binom{m}{3}-2\sum_{m=3}^{37}\binom{m}{3}+\binom{37}{3}+\binom{36}{3}+\binom{35}{3}+\binom{34}{3}\\ =&\;\binom{73}{4}-2\binom{38}{4}+\binom{37}{3}+\binom{36}{3}+\binom{35}{3}+\binom{34}{3}\\ =&\;968239 \end{align*}

Answer 3

Por lo que estamos buscando no negativo soluciones para a $a+b+c+d+e=79$ con las restricciones $a\ge7$, $b\le34$ y $3\le c\le41$

Siempre me gusta, en este tipo de problema, para trabajar con funciones de generación. Todo lo variable obtiene un polinomio tal que sus poderes corresponden a las restricciones, y de tal manera que pidió a la solución sería el coeficiente de $x^{79}$ en su producto:

La restricción en $a$ se traduce en la función $$(x^7 + x^8 + x^9 + \ldots) = x^7\left(\frac{1}{1-x}\right)$$ For $b$ we have $$(1+ x + x^2 + \ldots x^{34}) = \frac{1-x^{35}}{1-x}$$ all using standard geometric series. For $c$ we have $$\left(x^3 + x^4 + \ldots + x^{41}\right) = x^3\left(1+x+ \ldots + x^{38}\right) = x^3\left(\frac{1-x^{39}}{1-x}\right)$$ while $d$ and $e$ have no restrictions so we use $$(1+x+x^2 + \ldots) = \frac{1}{1-x}$$

Así que la respuesta a tu pregunta es el coeficiente de $x^{79}$ en la:

$$x^7 \frac{1}{1-x} (1-x^{35})\frac{1}{1-x} x^3 (1-x^{39})\frac{1}{1-x}\left(\frac{1}{1-x}\right)^2 $$ which comes down to the coefficient of $x^{69}$ (removing the always present $x^{10}$) en:

$$(1-x^{35})(1-x^{39})(1-x)^{-5} = (1 - x^{35} - x^{39} + x^{74})\sum_{k=0}^\infty {k+4 \choose k} x^k$$ el uso generalizado fórmula binominal.

Y este coeficiente es igual a $${73 \choose 69} - {38 \choose 34}- {34 \choose 30}$$

Answer 4

Podemos resolver este problema de encontrar el número de soluciones con las siguientes restricciones

(1) $a\ge7 $ $c\ge3$

(2) $a\ge7 $ $c\ge42$

(3) $a\ge7 $, $b\ge35$ y $c\ge3$

(4) $a\ge7 $, $b\ge35$ y $c\ge42$

La respuesta al problema es la respuesta de (1) - la respuesta de (2) - la respuesta de (3) + la respuesta de (4)

(1) Vamos a $a'=a-7$$c'=c-3$. La ecuación es equivalente a $a'+b+c'+d+e=79-7-3 $, donde las variables son números enteros no negativos. El número de soluciones es $\binom{79-7-3+4} {4 }=\binom {73}{4}$.

(2) Similar a (1), el número de soluciones es $\binom{79-7-42+4} {4 }=\binom {34}{4}$.

(3) El número de soluciones es $\binom{79-7-3-35+4} {4 }=\binom {38}{4}$.

(4) es imposible como $a+b+c>79$.

Answer 5

Este problema puede ser resuelto utilizando el principio de inclusión. Primero observar que el problema es equivalente a encontrar el número de entero no negativo soluciones a $$ a'+b+c+d+e=69\etiqueta{1} $$ donde $b\leq 34, c'\leq 38$. Deje $B$ el conjunto de entero no negativo, las soluciones de (1) donde: $b\geq 35$ $C$ el conjunto de conjunto de entero no negativo, las soluciones de (1) donde: $c'\geq 39$ y deje $U$ el conjunto de entero no negativo, las soluciones de (1) sin ningún tipo de restricciones. El número de soluciones es igual a $$ \begin{align} |\bar{B}\cap\bar{C}| &=|U|-|B|-|C|+|B\cap C|\\ &=\binom{5+69-1}{4}-\binom{5+(69-35)-1}{4}-\binom{5+(69-39)-1}{4} + 0\\ &=\binom{73}{4}-\binom{38}{4}-\binom{34}{4} \end{align} $$ por el principio de inclusión exclusión donde $|B\cap C|=0$ desde el si $b\geq 35$$c'\geq 39$,$b+c'\gt 69$.