¿$ \lim_{n \to \infty} a_n ^{b_n} = e^{\lim_{n \to \infty}(a_n - 1)b_n}$ Siempre es verdadera?

Question

Considerar $a_n$ y $b_n$ son dos secuencias que $\lim _{n \to \infty} a_n = 1$ y $\lim _{n \to \infty} b_n = \infty$. ¿Siempre podemos utilizar esta fórmula?

$$ \lim_{n \to \infty} a_n ^{b_n} = e^{\lim_{n \to \infty}(a_n - 1)b_n}$$

¿También, cuándo podemos usar este método para las funciones?

Un caso famoso es $a_n = 1+ \frac{1}{n}$ y $b_n = n$. Así $\lim_{n \to \infty}(a_n - 1)b_n = 1$ y $a_n ^{b^n} = e^1 = e$

Answer 1

Sí, esta fórmula puede ser usada.

Echemos un vistazo a su derivación. Quedará claro de la derivación que donde puede ser utilizado.

$$\text{let}~~L= \lim_{n \to \infty} a_n ^{b_n}$$

$$\ln L= \lim_{n \to \infty} b_n \ln a_n$$ $$\ln L= \lim_{n \to \infty} b_n \ln (1+(a_n-1))$$

Desde $a_n \to 1 \implies a_n-1 \to 0$ por lo tanto, podemos utilizar el hecho de que: $$\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1 + x)}{x}=1$ $

Obtenemos

$$\ln L= \lim_{n \to \infty} b_n \left(\frac{\ln (1+a_n-1)}{a_n-1}\right)(a_n-1)=\underbrace {\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\ln (1+a_n-1)}{a_n-1}\right)}_{=1} \cdot \lim_{n \to \infty} b_n(a_n-1) $$ $$ \implies \ln L= \lim_{n \to \infty} b_n (a_n-1)$$ Hence $$L=e ^{\lim_{n \to \infty} b_n (a_n-1)}$$