Hay una razón fundamental que $\int_b^a = -\int_a^b$

Question

Hay una razón fundamental que cambiar el orden de los límites de la integral de los resultados en la negativa, es decir,, $$\int_b^af(x)\,dx = -\int_a^bf(x)\,dx?$$ As far as I can tell, this is just chosen as a convention so that the rule $$\int_a^bf(x)\,dx + \int_b^cf(x)\,dx = \int_a^cf(x)\,dx$$ obras. Pero me preguntaba si había alguna razón más fundamental para esto, tal vez de alguna manera relacionados con firmado medidas o algo.

De fondo

La razón por la que estoy pidiendo es que estamos tratando de averiguar cómo definir cosas como $$\sum_{n=4}^1n$$ in the computer algebra system SymPy (see this discussion). The natural thing, for me at least, is to define this as 0, since it represens a summation over an empty set ($\{x\,|\,4\leq x\leq 1\}$). But it seems that some authors define this as $-\sum_{n=2}^3n$, so that the convention $\sum_{n=a}^bf(n) + \sum_{n=b + 1}^c f(n)= \sum_{n=a}^cf(n)$ de las obras (es decir, Karr en "Suma Finita de Términos"). Que me puso a pensar acerca de las integrales, y si en este caso la regla también se define simplemente por comodidad, o si realmente existe una motivación fundamental detrás de él en la definición de la integral.

Sé que sumatorias son sólo casos especiales de integrales (al menos en el sentido de Lebesgue), por lo que el aprendizaje de por qué las cosas funcionan para las integrales que me ayudaría a entender cómo deben funcionar las cosas para sumatorias.

Answer 1

Volver a la definición de $\int_a^b f(x)\,dx$ como el límite de una suma de Riemann. Mira cómo $\Delta x$ estaba definido. Ahí está tu respuesta.

Recuerde que cuando la integración de$a$$b$, teníamos $\Delta x_i = x_{i+1}-x_i$, mientras que si integramos de$b$$a$,$\Delta x_i=x_i-x_{i+1}$, que es el negativo de la $\Delta x$ resultado antes de.

Answer 2

Con el fin de lidiar con esta pregunta que uno tiene que distinguir (i) las integrales con respecto a una medida y (ii) las integrales a través de una cadena. Para las integrales sobre la realidad de los intervalos de$[a,b]$ que son prácticamente el mismo, por lo tanto la diferencia no se hace visible en la vida cotidiana de la notación.

(i) Después de la construcción de medida de Lebesgue $\mu$ ${\mathbb R}$ y la integral con respecto a esta medida tiene sentido considerar expresiones como $$\int_{[a,b]} f\ {\rm d}\mu\ .$$ Aquí $-\infty<a\leq b<\infty$, y el intervalo de $[a,b]$ es sólo un conjunto medible, pero no hacia adelante o hacia atrás de la orientación. (Yo uso el de roman ${\rm d}$ a indicar que el "unsigned medida", es decir.)

(ii) en Contraste a esto, la integral de Riemann $$\int_a^b f(x)\ dx\ :=\ \lim_\ldots\ \sum_{k=1}^N f(\xi_k)\ (x_k-x_{k-1})$$ es, conceptualmente, una integral sobre una cadena de $\gamma$. Los factores de $(x_k-x_{k-1})$ están destinados a ser pequeñas diferencias, no las medidas de pequeños intervalos. La cadena de $\gamma$ conecta los puntos de $a$$b$, a partir de $a$ y terminando en $b$, e $b<a$ es permitido. En cualquier caso, el límite de esta cadena es la formal suma $\{b\}-\{a\}$. En esta configuración es obvio que para arbitrario $a$, $b$, $c$ uno tiene $$\int_b^a f(x)\ dx=-\int_a^b f(x)\ dx\ ,\quad \int_a^c f(x)\ dx=\int_a^b f(x)\ dx+\int_b^c f(x)\ dx\ .$$ El teorema fundamental del cálculo, junto con el accompagning conjunto de reglas para el manejo de las integrales, se basa en esta interpretación de la integral.

Es un hecho que, por razonables $f$ $a\leq b$ uno tiene $$\int_{[a,b]} f\ {\rm d}\mu =\int_a^b f(x)\ dx\ .$$ Por lo tanto, tenemos la tendencia a reemplazar la notación en el lado izquierdo de esta ecuación por la notación en la RHS incluso en casos donde sólo la integral de Lebesgue tiene sentido.

Answer 3

Hay otro muy sencilla razón de que en la integral de Riemann de la teoría. Tomar el lineal de sustitución $$y = a+b-x$$ que tarda $a$ a $b$, $b$ a $a$, e $\mathrm{d}x$$-\mathrm{d}y$. El teorema de sustitución en la Riemann teoría, entonces, inmediatamente dice que $$\int_b^a f(x) \mathrm{d}x = -\int_a^b f(y) \mathrm{d}y.$$

Tenga en cuenta que el correspondiente teorema de Lebesgue la integral tiene un valor absoluto del Jacobiano plazo, que permitiría anular el efecto del signo menos. Por lo que el razonamiento no puede ser utilizado, no (con respecto a su "Fondo" de la sección). Pero, de nuevo no hay nada como la integración de $a$ $b$en la integral de Lebesgue, es siempre integral a través de un conjunto, como Cristiano Blatter señaló anteriormente. El último es, simplemente, $(a,b)$ e invariante en virtud de la sustitución ser tomadas, de modo que el signo debe ser siempre el mismo así.

Answer 4

Quiero responder a tu pregunta con Lebesgue integrales, como usted pide, pero el hecho es que la maquinaria para la medida de no tomar esto en cuenta en todo (la medida de un subconjunto de a $\mathbb R$, usando el estándar de la medida o del recuento de medida, siempre es positivo). Recuerdo haber tenido un problema similar con el área comprendida al aprender acerca de las integrales de línea (valor absoluto signos siempre me rozan el camino equivocado). La respuesta es que hace que la adición de la fórmula de espera, incluso en el sentido de Lebesgue, de la siguiente manera:

Definir $\bar\int_S\,f=-\int_Sf$. La idea es que el $\bar\int$ "deshace" de las integrales, por lo que si $B\subset A$,$\int_A f+\bar\int_B\,f=\int_{A-B} f$, de forma análoga a $\int_A f+\int_B\,f=\int_{A\uplus B} f$ si $A\cap B=\emptyset$, e $\int_A f+\bar\int_A\,f=0$. Pero de esta manera, podemos borrar más de la totalidad de la integral: $B\subset A$ implica $$\int_A f+\bar\int_B\,f=\bar\int_{B-A} f,$$ donde ahora se $\bar\int_{B-A} f$ se supone que representan integración negativa sobre el conjunto. No es nada, pero algebraicas engaño, pero se supone que te hacen pensar en términos de ser capaz de integrarse hacia atrás sobre las cosas. Por lo tanto, podemos definir a la $[a,b]=\overline{[b,a]}$, donde estoy abusando de mi propia notación aquí para indicar que este conjunto se supone que para ser integrado de forma negativa, y $\int_{[a,b]} f=\bar\int_{[b,a]} f\Rightarrow\int_a^b=-\int_b^a$. Es un montón de notación para muy poca ganancia, pero espero haberles convencido de que esto puede ser hecho para tener algún sentido. Es sin duda útil ser capaz de decir $\int_0^x dt=x$ en lugar de $\int_0^x dt=|x|$!

Edit: Para la suma, el recuento de medida asigna $1$ a cada punto en $\mathbb Z$, pero se aplica la misma regla. Para $A=[a,b)\cap\mathbb Z$, obtenemos $\int_Af=\sum_{i=a}^{b-1}f$, y para la inconexión de la unión de la regla, tenemos, si $B=[b,c)\cap\mathbb Z$ es discontinuo con $A$, $$\int_Af+\int_Bf=\int_{A\uplus B}f\Rightarrow\sum_{i=a}^{b-1}f+\sum_{i=b}^{c-1}f=\sum_{i=a}^{c-1}f.$$

(Note how the $-1$'s appear. This is an artifact of the definition of a sum as $\sum_a^b=\sum_{[a,b]\cap\mathbb Z}$, using the closed, rather than the half-open interval, which behaves nicer w.r.t. addition. Every programmer who writes for (int i=0;i<N;i++) knows this.) Rearranging this identity, we get, for a negative sum $\overline{[a,b)\cap\mathbb Z}=(b,a]\cap\mathbb Z=[b-1,a-1)\cap\mathbb Z$,

$$\sum_{i=b}^{c-1}f-\sum_{i=a}^{c-1}f=-\sum_{i=a}^{b-1}f:=\overline\sum_Af:=\sum_{i=b}^{a-1}f.$$

I've chosen the limits on the last definition to be consistent with our addition rule, because I can now rearrange to get

$$\sum_{i=b}^{c-1}f=\sum_{i=b}^{a-1}f+\sum_{i=a}^{c-1}f,$$

which looks identical to the first addition rule, except now $un<b$, so one is a backwards sum. Thus:

$$\sum_{i=b}^{a-1}f=-\sum_{i=a}^{b-1}f\Rightarrow\sum_{i=b}^af=-\sum_{i=a+1}^{b-1}f.$$

Answer 5

Usted quiere que las integrales debe ser aditivo en el sentido de que $\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c$, es decir, el área debajo de la gráfica entre a y b, además de la zona entre b y c, es igual a la superficie total de la a a la c.

A partir de este,

$\int_a^b = \int_a^c - \int_b^c$

y permuting entradas en la primera expresión da

$\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b.$

Ahora lo que sigue es que $- \int_b^c = \int_c^b.$