Valor máximo de $f(x)$ si $f(x)+f\left(1/x\right)=x$

Question

¿Cuál es el valor máximo de $f(x)$ si $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=x$ % todo $x$en el dominio de esta función de valor real?

Ahora $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=x$ y $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}$ de simetría. Por lo tanto $x=\frac{1}{x}$ $\implies$ $x=1$ o $-1$.
¿Significa que el dominio de la función es sólo $1$ o $-1$?
¿Y por lo tanto sustituyendo $x=1$ en la ecuación obtenemos valor máximo de $f(x)$ $1/2$?

Answer 1

La mayoría de esto ya se ha dicho en los comentarios.

Su argumento es correcto que si $x$ está en el dominio de $f$, $x=1$ o $x=-1$. La pregunta no especifica cuál es el dominio de $f$ es, así que hay cuatro posibilidades para el dominio: $\varnothing$, $\{1\}$, $\{-1\}$, o $\{1,-1\}$.

Se calcula que si $f$ se define en$x=1$$f(1)=\frac{1}{2}$. Del mismo modo, si $f$ se define en$x=-1$$f(-1)=-\frac{1}{2}$. Así que tenemos tres posibilidades para el valor máximo:

• Si el dominio de $f$ $\{1\}$ o $\{1,-1\}$,$\max f=\frac{1}{2}$.

• Si el dominio de $f$$\{-1\}$,$\max f=-\frac{1}{2}$.

• Si el dominio de $f$$\varnothing$, $\max f$ no está definido (algunas personas escriben $\max f=-\infty$ en este caso).