Cuándo es el mapa $x\rightarrow x^k$ inyectiva en $\mathbb Z_n$ ?

Question

¿Existe un criterio fácil cuando el mapa $x\rightarrow x^k$ es inyectiva en $\mathbb Z_n$ ?

Por ejemplo, el mapa $x\rightarrow x^3$ es inyectiva en $\mathbb Z_{10}$

Desde $\mathbb Z_n$ es finito, el mapa es inyectivo si y sólo si es suryente. Por tanto, si sabemos si $x^k\equiv c\mod n$ es siempre resoluble, también sabemos si el mapa es inyectivo.

Answer 1

Hay que tener en cuenta lo siguiente:

• Si $n$ no es libre de cuadrados, entonces este mapeo es inyectivo sólo en el caso trivial de $k=1$ . Debería $p^2\mid n$ para algún primo $p$ y $k>1$ entonces las clases de residuos con representantes divisibles por $p$ pero no por $p^2$ no puede estar en la imagen. Por lo tanto, el mapeo no puede ser suryectivo y, como has señalado, tampoco puede ser inyectivo.
• Si $n$ es un producto de primos distintos, entonces entra en juego el Teorema del Resto Chino, y basta con comprobar que el mapa correspondiente es biyectivo módulo a cada factor primo $p$ . Porque $\Bbb{Z}_p^*$ es cíclico de orden $p-1$ subir al poder $k$ es inyectiva en ese anillo si y sólo si $\gcd(k,p-1)=1$ .

Resumen: este mapeo es siempre inyectivo si $k=1$ y, en caso contrario, si y sólo si $n$ es libre de cuadrados y $\gcd(k,p-1)=1$ para todos los divisores primos $p\mid n$ .