¿Puede existir un triángulo no equilátero con lados enteros y ángulos enteros (en grados)?

Question

Me pregunto si existe un triángulo con lados enteros y ángulos enteros en grados, que no sea equilátero. ¿Podría alguien aportar una prueba de por qué sí o por qué no?

Editar: Por favor, no responda con un triángulo que sólo tenga lados enteros. El triángulo debe tener ángulos enteros en grados; esto significa que deben ser realmente enteros, no redondeados.

Answer 1

Como se ha mencionado en la página de Wikipedia de "triángulo entero" El ley de los cosenos obliga a la coseno de un ángulo en un triángulo con lados enteros sea un número racional.

Ahora bien, ¿cuándo un ángulo entero (en grados) tiene un coseno racional? Podemos ir un paso más allá: ¿cuándo un racional ángulo (en grados) tienen un coseno racional? Esta pregunta se responde con una prueba inteligente en la página 2 de ¿Cuándo el (co)seno de un ángulo racional es igual a un número racional? por Jörg Jahnel . La respuesta es que los cosenos racionales de los ángulos racionales son simplemente $\pm1,\pm\frac12,0$ . (Esto se conoce como Teorema de Niven y se puede encontrar una prueba alternativa en ProofWiki .)

Dado que los cosenos de $\pm1$ no correspondería al ángulo de un verdadero triángulo, las únicas opciones posibles son $\cos\theta=0,\pm\frac12$ para los ángulos de $\theta=60^\circ,90^\circ,120^\circ$ . Pero si hay un ángulo de $90^\circ$ o $120^\circ$ No hay suficiente espacio en $180^\circ$ para dos ángulos más de al menos $60^\circ$ . Y los únicos triángulos cuyos ángulos son todos $60^\circ$ son equiláteros.

La respuesta a la pregunta "¿Puede existir un triángulo no equilátero con lados enteros y ángulos enteros (en grados)?" es no .

Answer 2

Por qué medir los ángulos en grados y llamar a esos triángulos importantes cuando los grados son una convención no relacionada con la división natural de los ángulos. Por ejemplo 3°, 7°, 9° y 11° son todas divisiones terribles de ángulos con poco significado matemático. Sugiero que estos ángulos son divisiones humanas con poco significado en cuanto a aparecer como enteros en nuestras pobres conversiones. Sugiero que 180° y 90° son importantes como 1/2 y 1/4 de una vuelta entera y NO el hecho de que aparezcan como enteros en alguna selección divisional de 360 elegida al azar que los babilonios soñaron y que la sociedad postergó de arreglar durante 2000 años.

Mi opinión es que las divisiones angulares deben basarse en divisiones geométricas reales de un círculo que puedan construirse con compás y regla. En lugar de entregar a nuestros niños pequeños aparatos que no se pueden construir a partir de los otros aparatos. Los niños NO pueden hacer transportadores en un papel a partir de los instrumentos geométricos que tienen a su disposición. ¿No es extraño y casi engañoso hacerles eso? Es como si estuviéramos entrenando a los niños para que piensen que los números enteros de los grados tienen algún significado real y no sólo se alinean con los constructivos porque algunas fracciones de nuestras pobres divisiones se alinean con las divisiones más geométricas.

Los ángulos son fracciones de una vuelta entera. Sólo algunos ángulos son importantes cuando el ángulo se mide en grados enteros. La pregunta es qué triángulos tienen ángulos de divisiones pares de 1/360 de vuelta. Es decir, si se miden los triángulos con ángulos de radianes, entonces sólo habría 3 ángulos enteros por vuelta: 1,2 y 3 radios. Que no se pueden sumar para hacer triángulos de pi rad grados. Y la respuesta a tu pregunta sería: "no existe ningún triángulo así"

Una pregunta más general sería: qué triángulos tienen lados de longitud entera y ángulos que son todos fracciones racionales de 1/2 vuelta (180 grados).

Por ejemplo: ¿y si hubiera un triángulo como el que has descrito con ángulos internos de 1/7(360°), 2/7(360°) y 4/7(360°) con lados enteros, no querrías saberlo? Los ángulos medidos en grados faltarían en este triángulo.

Comparación de los triángulos de ángulo de grado frente a los de ángulo racional:

60°:60°:60° = rational angles 1/3:1/3:1/3  = 1:1:1

30°:60°:90° = rational angles 1/6:2/6:3/6 = 1:2:3

36°:72°:72° = rational angles 1/5:2/5:2/5 = 1:2:2

45°:45°:90° = rational angles 1/4:1/4:2/4 = 1:1:2

Pero ahora fíjate:

rational angles  1/7 : 2/7 : 4/7 = 1 : 2 : 4 != degree angles ~25.71° : ~51.42° : ~205.71°

...que es un triángulo (si tuviera lados enteros) que estaría excluido del conjunto de triángulos con grados enteros. Pero como todos los ángulos son proporciones de un ángulo común (1/14 de vuelta entera), ¿no es este triángulo especial?

Como prueba adicional de que esta cuestión es limitada (por los grados) es que: Ningún triángulo tiene lados enteros. La longitud del lado del triángulo depende de la escala de la regla para medirlo. Por ejemplo, los triángulos equiláteros casi nunca tienen lados enteros, a menos que se declare así y se haga de ese lado la regla de medida. El hecho importante es realmente la proporción de un lado a otro. Porque sólo un triángulo equilátero específico tiene realmente lados de uno. Pero todos los triángulos equiláteros tienen lados que se dividen entre sí uniformemente para producir una proporción de 1:1

• este argumento no es una respuesta, sino que no encaja en los límites del comentario

Answer 3

Sí. Hay otro triángulo de lado/ángulo entero.

El triángulo degenerado:

Sides: 1:1:0

Degree angles: 0°:0°:180°

Se parece mucho a un segmento de línea de longitud 1.

A algunas personas no les gustan los triángulos degenerados. Pero son válidos cuando se calculan los puntos 1 y -1 de una circunferencia unitaria mediante la fórmula de Eulers, que calcula a partir de los lados de los triángulos, incluidos los degenerados.

https://en.wikipedia.org/wiki/Degeneracy_(matemáticas)#Triángulo