¿Cómo puedo demostrar que existe una función que es su propia derivada?

Question

¿Cómo puedo demostrar que existe una función que es su propia derivada? ¿Y cómo puedo demostrar que esta función es de la forma $a(b^x)$ ?

Answer 1

Hay dos maneras de mostrarlo. La más difícil sería demostrar el teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias, demostrando así que existen soluciones para $y'=y$ .

La forma más directa sería simplemente construir la función $e^x$ y demostrar que es su propia derivada. Se empezaría por definir $$\ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t}\, dt$$ y demostrar que es una función estrictamente creciente en $(0,\infty)$ con rango $(-\infty, \infty)$ . De ello se desprende que $\ln(x)$ tiene una inversa, que deberíamos denominar $e^x$ . En cuanto a encontrar la derivada de esta nueva y misteriosa función: $$y=e^x$$ $$\ln(y)=x$$ Tomando la $x$ derivada de ambos lados, $$\frac{y'}{y} = 1$$ $$\implies y'=y$$ Y demostrar que toda función que es su propia derivada es un múltiplo constante de $e^x$ Supongamos que $f'=f$ . Entonces, observando que $e^x$ no es cero en ninguna parte, $$\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{e^x} = \frac{f'(x)e^x-f(x)e^x}{(e^x)^2} = \frac{f(x)e^x-f(x)e^x}{(e^x)^2} = 0$$ Por lo tanto, $$\frac{f(x)}{e^x}$$ es constante ya que tiene un dominio conexo, por lo que $f(x) = ce^x$ para algunos $c$ .

Answer 2

$f(x) = 0$ es trivialmente su propia derivada, y es de la forma $a(b^x)$ para $a=0$ y cualquier $b$ . Eso es todo lo que necesitamos para resolver el problema planteado.

Answer 3

Una respuesta intuitiva :

Para funciones suaves y "pequeñas" $h$ tenemos

$$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}h.$$

Entonces $f'(x)=f(x)$ rinde

$$f(x+h)\approx(1+h)f(x),$$ y $$f(x+2h)\approx(1+h)f(x+h)\approx(1+h)^2f(x),$$ $$\cdots$$ $$f(x+nh)\approx(1+h)^nf(x).$$

Ahora con $nh=1$ ,

$$f(x+1)\approx \left(1+\frac1n\right)^n f(x),$$ lo que debería sonar a algo.

Answer 4

Si se postula una solución para $y=y'$ de la forma $g(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$ por la igualdad de la serie de potencias a ambos lados de la igualdad se obtiene $$ a_{k+1}=(k+1)a_k,$$ y entonces se deduce que $$a_k=\frac{a_0}{k!},\ \ \ \ k=1,2,\ldots.$$ Así que $$y(x)=a_0\,\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}.$$ A continuación, podemos centrarnos en el caso de que $a_0=1$ , digamos que $g(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}$ . Definir $e=g(1)$ . Utilizando la serie se puede demostrar que $$ g(x+y)=g(x)g(y).$$ De ello se desprende que $$\tag{1}g(x)=e^x$$ para $x$ racional. Como $g$ es continua (infinitamente diferenciable, incluso), tiene que ser $e^x=g(x)$ por irracional $x$ También. Así, $$ y(x)=a_0\,e^x. $$