Matriz definida positiva debe ser hermítica

Question

¿Hay una manera sencilla de demostrar que una matriz definida positiva debe ser hermítica?

Creo que hay un largo prueba de ello que se toma los vectores de la unidad y aplicando la propiedad de determinación positiva y bruta forzar.

Pero hay una simple prueba inteligente ¿por qué una matriz definida positiva es necesariamente hermítica?

Answer 1

Como Marvis dice en los comentarios, el problema se reduce a mostrar que la si $V$ es finito-dimensional interna compleja espacio del producto y $A : V \to V$ un operador tal que $\langle v, Av \rangle = 0$ todos los $v$,$A = 0$. Dejando $v$ ejecutar a través de todos los vectores propios de a $A$, la hipótesis implica que $A$ tiene todos los autovalores $0$, por lo tanto es nilpotent. Supongamos por contradicción que $A \neq 0$, por lo tanto existe un vector $v_0$ tal que $v_1 = A v_0$ es distinto de cero. Podemos suponer WLOG que $A v_1 = 0$, por lo tanto

$$\langle v_0 + v_1, A(v_0 + v_1) \rangle = \langle v_1, v_1 \rangle \neq 0$$

lo cual es una contradicción. Por lo tanto $A = 0$.

Tenga en cuenta que la correspondiente afirmación real para el producto interior de los espacios es falso; la condición de $\langle v, Av \rangle = 0$ es satisfecha por todos los giros de matrices simétricas.