¿Cómo es compatible la dependencia del índice de refracción en la ley de Planck con la termodinámica?

Question

En varias fórmulas para la radiación del cuerpo negro donde $c$ aparece, hay una dependencia implícita del índice de refracción, ya que $c=c_0/n$ , donde $c$ es la velocidad de la luz, $c_0$ es la velocidad de la luz en el vacío, y $n$ es el índice de refracción hacia el que irradia el cuerpo negro. Esto aparece, por ejemplo, en la ley de Planck, la ley de Stefan-Boltzmann y la ley de desplazamiento de Wien. $^1$

Esta observación me parece sorprendente, porque implica que los cuerpos negros que irradian en $n\neq 1$ Los materiales emiten un factor de $n^2$ más potencia que otros cuerpos idénticos que emiten al vacío.

A mí me parece que esto violaría las leyes de la termodinámica. Consideremos la situación en la que dos cuerpos negros de igual superficie se enfrentan. Supongamos que el espacio entre los dos cuerpos negros se llena parcialmente con un índice $n$ material, con un cuerpo negro en contacto con el índice- $n$ material, y el otro rodeado de vacío. Entonces, según el argumento del párrafo anterior, uno de los cuerpos negros irradiará $n^2$ más poder que el otro. Si los dos cuerpos negros están aislados térmicamente del resto del universo, entonces se equilibrarán a diferentes temperaturas. Según tengo entendido, esto viola la ley zeroth de la termodinámica.

Debe haber algo mal en el argumento anterior. Ninguno de mis libros menciona un $n$ -dependencia, por lo que al principio pensé que tal vez el $c$ en la ley de Planck en realidad indicaba lo que yo llamo $c_0$ la velocidad de la luz en el vacío. Sin embargo, esto no parece ser el caso; he encontrado al menos una referencia que lo menciona explícitamente $n$ -dependencia. : "Para la radiación en un medio dentro de la cual la velocidad de la luz no se acerca a $c_0$ La ley de Planck debe modificarse incluyendo un factor multiplicador del índice de refracción".

¿Cómo es compatible la dependencia del índice de refracción en la ley de Planck con la termodinámica?

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$^1$ El $n$ Las dependencias de la ley de Stefan-Boltzmann y de la ley de desplazamiento de Wien se derivan de la de la ley de Planck, mientras que las dos primeras pueden derivarse de la última.

Answer 1

Esta es una respuesta en dos partes basada en mis propias ideas y en el libro específicamente referenciado. Estoy bastante seguro de la primera parte, pero menos de la segunda.

1) La potencia radiada depende efectivamente del índice de refracción.

La cuestión se plantea por la dependencia del índice de refracción de la potencia radiada. Esta dependencia apenas se menciona en ningún sitio de Internet o en los libros, y no es obvio que sea cierta (de hecho, John dio a entender que no es cierta en su respuesta). Así que primero establecemos la afirmación: La potencia radiada por unidad de superficie son de un cuerpo negro es proporcional a $n^2$ , donde $n$ es el índice de refracción del medio al que irradia.

Esto se deduce de la ley de Stefan, cuando la velocidad de la luz $c$ en la constante de Stefan se sustituye por $c_0/n$ , donde $c_0$ es la velocidad de la luz en el vacío. El $n^2$ de la potencia radiada también puede derivarse mediante una modificación de la derivación normal de la ley de Planck. El factor de Bose-Einstein es constante para $E$ pero la densidad de estados $g(E)dE$ depende directamente de la longitud de onda a través del número de modo. La dependencia de la longitud de onda de $g(E)dE$ da una $n^2$ plazo para el fijo $E$ que se integra para dar un $n^2$ en la potencia total radiada.

Le site $n^2$ La dependencia de la potencia radiada también se discute explícitamente en el libro de R. Siegel y John Reid Howell: "Transferencia de calor por radiación térmica", 4ª edición. : "La ... y la potencia emisiva total de un cuerpo negro en un medio con índice de refracción constante $n$ vienen dadas por la ley de Stefan-Boltzmann: $\pi i_b = e_b = n^2 \sigma T^4$ ."

La referencia anterior podría ser errónea, aunque sólo he escuchado cosas buenas sobre ese libro, pero si es errónea entonces necesitaremos una buena referencia o derivación.

2) La resolución de la aparente paradoja de la pregunta.

Acabo de encontrarlo y no lo he revisado, pero Siegel y Howell dan una posible resolución en su libro: "La sección 18-5 muestra cómo una porción de radiación de cuerpo negro procedente de un medio con $n>1$ no puede pasar a través de una interfaz a un medio adyacente con menor $n$ . Al entrar en el vacío, hay un $1/n^2$ factor de reflexión de la interfaz que elimina el $n^2$ proporcionada por [la ley de Stefan], por lo que la energía máxima que pasa al vacío es $\sigma T^4$ ."