Contraejemplo del casi-inverso del teorema Fundamnetal de Calculus(Lebesgue).

Question

Alguien me puede dar un contraejemplo a lo siguiente:

Supongo que $F \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ es continua y diferenciable casi por todas partes, entonces el $F(b)-F(a)=\int_a^b F'(t)\, \text{d}t$.

Supongo que deje la discontinuidad que puede ayudar $\mathbb{Q} \cap[0,1]$.

Answer 1

La función de Cantor es un contraejemplo. Es continua y tiene derivada $0$ casi en todas partes, aún $F(1)-F(0)=1-0=1 \neq 0=\int_0^10 \, dt=\int_0^1F'(t) \, dt$.

Answer 2

Yo acosar Cálculo a los estudiantes con este ejemplo (que puede fácilmente escala y traducir a $[0,1]$):

Deje $f(x) = \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(1/x)$. Calcular $f(1)$, $f(-1)$, y $f'(x)$. ¿Cómo es eso posible?

Ellos encuentran $f(1) = \pi/2$, $f(-1) = -\pi/2$, y $f'(x) = 0$ (casi) todo el mundo. Que debe ser una buena sugerencia.

Vale la pena destacar que esta $f$ es continua (constante!) una.e. y diferenciable de una.e. Me gusta esta $f$ debido a que la explicación de la constancia es simple, si uno recuerda la Trig: $f$ es la suma de dos (dirigida) ángulos complementarios. La dirección sólo se invierte a medida que pasa a través de $0$.