¿Integración por partes con "deja vu" tiene un nombre?

Question

En algunos problemas de integración por partes, tales como la evaluación de la integral de $e^x \cos x$ o $\sec^ 3 x$, uno realiza la integración por partes (posiblemente más de una vez, y posiblemente junto con manipulaciones algebraicas) y, finalmente, el original de la integral aparece de nuevo.

A principio de los estudiantes, esto puede superficialmente parecen ser el "razonamiento circular" que no resuelve el problema. Pero lo hace, porque si tenemos

$\int f(x) dx = g(x) + K \int f(x) dx$

donde $K \ne 1$, luego reorganizar da

$\int f(x) dx = \frac{1}{1-K} g(x)$.

Mi pregunta:

Esta técnica tiene un nombre común? Una vez vi se llama "la integración por partes con déjà vu" en algunos complementario de los materiales de estudio para un curso de cálculo. No sé que pensaba de ese nombre, pero me he tenido que usar con mis alumnos.

Answer 1

En los trabajos de investigación que suelen encuentro el término de absorción para el siguiente paso: ($\epsilon \in (0,1)$) $$ f = g + \epsilon f \quad\Rightarrow\quad f = \frac{1}{1-\epsilon}g. $$ En el uso que normalmente se ve "absorber $f$ a la izquierda, tenemos" o similar. Esto es muy común cuando la estimación de las normas en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales.

Con la integración por partes, en particular, he visto "repetidas de integración por partes, seguido por la absorción de la izquierda le da". Sin embargo, como sucede en muchas de investigación a nivel de documentos, tales pasos elementales en una prueba suele ir sin ningún tipo de comentario por parte del autor.

Answer 2

Usted podría estar interesado en el siguiente artículo:

Sheard, M. (2009). Truco o Técnica. El Colegio De Matemáticas De La Revista, 40, 1, 10-14.

El autor explica por qué es más un truco de una técnica y describe algunas de las aplicaciones y extensiones. Furhthermore, él lo llama "el paso de álgebra truco'.